Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 - Spécialité
Exercice 2 5 points
Partie A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ & b \text{est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de }a\\ & \text{Demander la valeur de } b\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > b\\ & \begin{array}{|c|} \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - b \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } c\\ & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}
$$
- Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
- Que permet de calculer cet algorithme ?
Partie B
À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.
\begin{array}{{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array}
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
- Étape 1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.
- Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.
- Étape 3 : Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
- Coder la lettre U.
- Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
Partie C
- Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$.
- Démontrer alors l'équivalence :
\[9m + 5 \equiv p\quad [26] \iff m \equiv 3p - 15\quad [26].\] - Décoder alors la lettre B.
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