Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par
\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]
et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous :

1. 1. Étudier la limite de $f$ en $0$.
   2. Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
   3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
2. 1. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
      Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; + \infty[$,
      \[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
   2. Résoudre sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
   3. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
3. 1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
   2. En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
   3. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$.
      1. Démontrer que $0 \leqslant I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
      On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
      2. Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$.
      3. Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.