Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2013.

Baccalauréat S Amérique du Nord 30 mai 2013

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C$(2 ; -1 ; - 2)$ et D $(7 ; - 1 ; 4)$.

  1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
  2. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec{u}(2 ; - 1 ; 3)$.
    1. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
    2. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
  3. Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
    1. Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
    2. Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-4t-2\\ y &=&t\\ z &=& 3t + 2 \end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$.
    3. La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère les points A(0 ; 4 ; 1), B (1 ; 3 ; 0), C$(2 ; -1 ; - 2)$ et D $(7 ; - 1 ; 4)$.

    1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    2. $\vec{AB}(1;-1;-1)$ $\quad \vec{AC}(2;-5;-3)$

 

    Or $\dfrac{2}{1} \ne \dfrac{-5}{-1}$. Par conséquent les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.
  1. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec{u}(2 ; - 1 ; 3)$.
      1. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
      2. $\vec{u}.\vec{AB} = 2 \times 1 – 1 \times (-1) – 1 \times 3 = 2 + 1 – 3 =0$

        $\vec{u}.\vec{AC} = 2 \times 2 – 1 \times (-5) + 3 \times (-3) = 4 + 5 – 9 = 0$.

        Le vecteur $\vec{u}$ est donc ortogonal à $2$ vecteurs de base du plan $(ABC)$.

        La droite $\Delta$ est par conséquent orthogonal au plan $(ABC)$.

        $\quad$

      1. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
      2. On en déduit donc qu’une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme :

        $2x-y+3z+d=0$. On sait de plus que $A$ appartient à ce plan donc :

        $-4+3+d=0$. Par conséquent $d=1$.

        Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc : $2x-y+3z+1=0$.

        $\quad$

      1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
      2. On en déduit donc qu’une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme :

        $2x-y+3z+d=0$. On sait de plus que $A$ appartient à ce plan donc :

        $-4+3+d=0$. Par conséquent $d=1$.

        Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc : $2x-y+3z+1=0$.

        $\quad$

    c.
        $\Delta$ passe par $D$ et a le vecteur $\vec{u}$ comme vecteur directeur.

        Par conséquent une représentation paramétrique est :

        $$\left\{ \begin{array}{l} x=7+2t \\ y=-1-t \qquad t\in \mathbb{R} \\ z=4+3t \end{array} \right.$$

        $\quad$

      1. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
      2. On remplace les coordonnées de $\Delta$ dans l’équation de $(ABC)$ :

        $2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0$

        $\Leftrightarrow 14 + 4t + 1 + t + 12 + 9t + 1 = 0$

        $\Leftrightarrow 28 + 14t = 0$

        $\Leftrightarrow t = -2$

      Donc $H \left( 7+2\times -(2);-1 + 2; 4 + 3 \times (-2) \right)$ c’est-à-dire $H(3;1;-2)$
  2. Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
      1. Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
      2. Un vecteur normal de $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n_1}(1;1;1)$.

        Un vecteur normal de $\mathcal{P}_2$ est $\vec{n_2}(1;4;0)$.

        Ces $2$ vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc les plans ne sont pas colinéaires et sont par conséquent sécants.

        $\quad$

      1. Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-4t-2\\ y &=&t\\ z &=& 3t + 2 \end{array}\right., \:\: t \in \mathbb{R}$.
      2. On peut montrer, par exemple, que l’équation fournie vérifie les $2$ équations de plan.

        On peut également chercher cette équation en résolvant le système :

        $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0 \\ x+4y+2=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-4y-2+y+z=0 \\ x=-4y-2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z=2+3y \\\\ x=-4y-2 \end{array} \right.$

        Une équation paramétrique de $d$ est donc bien :

        $$ \left\{ \begin{array}{l}x=-4t-2 \\ y = t \qquad \qquad t \in \mathbb{R} \\ z=3t+2 \end{array} \right.$$

        $\quad$

      1. La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
      2. Un vecteur directeur de cette droite est donc $\vec{v}(-4;1;3)$.

        $\vec{u}.\vec{v} = -4 \times 2 + 1 \times (-1) + 3 \times 3 = -8 – 1 + 9 = 0$.

        Par conséquent la droite $d$ est parallèle au plan $(ABC)$.

        De plus le point $E(-2;0;2)$ ne vérifie pas l’équation de $(ABC)$.

      La droite $d$ est strictement parallèle au plan $(ABC)$.

Exercice 2 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

  1. On considère l'algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}&n \text{ est un entier naturel}\\ &u \text{ est un réel positif}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander la valeur de } n\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}&\text{Pour } i \text{variant de }1 \text{ à } n :\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \sqrt{2u}\\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie :}& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}$$
    1. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
    2. Que permet de calculer cet algorithme ?
    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline \text{Valeur affichée} &\ 1,4142 & 1,9571 & 1,9986 & 1,9999 & 1,9999 \\ \hline \end{array}$$
      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    3. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
  2. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = - \ln 2$.
    2. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$. $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :} & n \text{ est un entier naturel}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Initialisation :}&\text{ Affecter à } \, n \text{ la valeur } 0 \\ &\text{Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement : }&\\ &\\ \text{Sortie : } &\\ \hline \end{array}$$

Exercice 2 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

  1. On considère l'algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}&n \text{ est un entier naturel}\\ &u \text{ est un réel positif}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander la valeur de } n\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}&\text{Pour } i \text{variant de }1 \text{ à } n :\\ & \text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \sqrt{2u}\\ &\text{ Fin de Pour }\\ \text{Sortie :}& \text{Afficher } u\\ \hline \end{array}$$
      1. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
      2. Voici les valeurs que nous donne l’algorithme

    Iu
    $0$ $1$
    $1$ $1,41421356$
    $2$ $1,68179283$
    $3$ $1,83400809$

    L’algorithme fournit donc la valeur $1,8340$ à $10^{-4}$ près.
    $\quad$

      1. Que permet de calculer cet algorithme ?
      2. L’algorithme fournit donc la valeur $1,8340$ à $10^{-4}$ près.

        $\quad$

      1. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour
        certaines valeurs de $n$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline n & 1 &5 &10 &15 &20\\ \hline \text{Valeur affichée} &\ 1,4142 & 1,9571 & 1,9986 & 1,9999 & 1,9999 \\ \hline \end{array}$$
        Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
      2. L’algorithme nous donne la $n$-ième valeur de la suite $(u_n)$.

        Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit positive,croissante et tende vers $2$. $\quad$

     

      1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$.
      2. Montrons ce résultat par récurrence.

        • Initialisation : $u_0 = 1$ : la propriété est vraie au rang $0$.
        • Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0<u_n \le 2$.
          Alors $0 < 2u_n \le 4$ et donc $0 < \sqrt{2u_n} \le 2$ (car la fonction racine carrée est croissante).
          La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
        • Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
          Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $0 < u_n \le 2$.
          $\quad$
      1. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
      2. $u_{n+1}- u_n = \sqrt{2u_n} – u_n = \sqrt{u_n} \left( \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \right)$

        Or $\sqrt{u_n} > 0 $ et on sait que $0 < u_n \le 2$ par conséquent $0 < \sqrt{u_n} \le \sqrt{2}$ d'après la stricte croissance de la fonction racine carrée sur $[0;+\infty[$.

        $\left.\begin{array}{l} \sqrt{u_n} > 0 \\ \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \geq  0\end{array}\right\}$ par produit on obtient: $ \sqrt{u_n} \left( \sqrt{2} – \sqrt{u_n} \right) \geq  0$

        Finalement $u_{n+1} – u_n \ge 0$ et la suite $(u_n)$ est croissante.

        $\quad$

    1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
    2. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée. Elle converge donc.
Variables : $n$ est un entier naturel
$u$ est un réel
Initialisation : Affecter à $n$ la valeur $0$
Affecter à $u$ la valeur $1$
Traitement : Tant que $u \le 1,999$
$u$ prend la valeur
$n$ prend la valeur $n + 1$
Fin Tant que
Sortie : Afficher $n$

Exercice 2 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :

$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ & b \text{est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de  }a\\ & \text{Demander la valeur de } b\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > b\\ & \begin{array}{|c|}  \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - b \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } c\\ & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}
$$

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
  2. Que permet de calculer cet algorithme ?


Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\begin{array}{{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array}

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

 

  1. Coder la lettre U.
  2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.


Partie C

  1. Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$.
  2. Démontrer alors l'équivalence :
    \[9m + 5 \equiv p\quad [26] \iff m \equiv 3p - 15\quad [26].\]
  3. Décoder alors la lettre B.

 


Exercice 2 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :

$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ & b \text{est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de  }a\\ & \text{Demander la valeur de } b\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > b\\ & \begin{array}{|c|}  \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - b \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } c\\ & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}
$$

    1. Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
    2. Voici l’état des variables $a$,$b$ (qui ne varie pas !) et $c$.

 

$a$ $13$ $9$ $5$ $1$
$b$ $4$ $4$ $4$ $4$
$c$ $0$ $1$ $2$ $3$

$\quad$

    1. Que permet de calculer cet algorithme ?
Cet algorithme permet de calculer le quotient et le reste de $a$ par $b$.

 


Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\begin{array}{{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array}

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

 

    1. Coder la lettre U.
    2. La lettre U est associée au nombre $20$. $9 \times 20 + 5 = 185$ et $ 185 \equiv 3 [26]$.

 

      Donc la lettre U est codée par D.

 

    $\quad$
  1. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
  2. $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& a \text{ est un entier naturel}\\ &c \text{ est un entier naturel}\\ \text{ Initialisation :}& \text{Affecter à } c \text{ la valeur } 0\\ & \text{Demander la valeur de }a\\ & \text{Affecter à } a \text{ la valeur } 9\times a +5\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que } a > 26\\ & \begin{array}{|c|} \text{ Affecter à } c \text{ la valeur } c + 1\\ \text{Affecter à } a \text{ la valeur } a - 26 \end{array}\\ & \text{Fin de tant que} \\ \text{Sortie :} & \text{ Afficher } a\\ \hline \end{array}$$


Partie C

    1. Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$.
    2. $9 \times 3 = 27 \equiv 1 [26]$.

 

      On peut donc prendre $x=3$

 

      $\quad$
    1. Démontrer alors l'équivalence :
      \[9m + 5 \equiv p\quad [26] \iff m \equiv 3p - 15\quad [26].\]
    2. $9m+5 \equiv p[26]$ $\Leftrightarrow 3 \times (9m + 5) \equiv 3p [26]$ $\Leftrightarrow 3 \times 9 \times m + 15 \equiv 3p [26]$ $\Leftrightarrow m = 3p-15 [26]$ car $3\times 9 \equiv 1[26]$.

 

      $\quad$
    1. Décoder alors la lettre B.
    2. La lettre B est associée à $1$.

 

      Prenons donc $p=1$.

 

      D’après la question précédente $m \equiv 3 \times 1 – 15[26]$ soit $m \equiv -12[26]$ et donc $m \equiv 14 [26]$.

 

Donc la lettre B a été trouvée en prenant la lettre O.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats
Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres .

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes.

Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.
Partie A
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline P(X \leqslant x) &0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline \end{array}$$

  1. Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$.
  2. Calculer la probabilité $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
  3. Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
    Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.
    On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant -1,751) \approx 0,040$.

Partie B
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96 % de pains commercialisables.
Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$.
  2. Parmi les $300$ pains de l'échantillon, $283$ sont commercialisables.
    Au regard de l'intervalle de fluctuationobtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ?

Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.
    Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.
  2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
  3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?

 


Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats
Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres .

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes.

Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.
Partie A
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline P(X \leqslant x) &0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline \end{array}$$

    1. Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$.
    2. $P(390 \le X \le 410) = P(X \le 410) – P(X < 390)$ $=0,818 – 0,182 = 0,636$

      2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

      $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

       

    3. Calculer la probabilité $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
      • Première rédaction : On utilise le tableau
        On cherche donc $P(X \ge 385) = 1 – P(X < 385) = 1 – 0,086 = 0,914$.
      • Deuxième rédaction : On utilise la calculatrice

        2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
        Avec une calculatrice de type TI

        $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

        $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

         

    4. Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de
      production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
      Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit
      commercialisable est-elle égale à 96 % ? On arrondira le résultat au dixième.
      On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant -1,751) \approx 0,040$.
    5. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X -\mu }{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.

 

    • Première rédaction : On utilise le tableau
      On veut que $P(X \ge 385) = 0,96$ soit $P(X < 385) = 0,04$.
      Par conséquent $P \left( \dfrac{X -\mu }{\sigma} < \dfrac{385 -\mu }{\sigma} \right) = 0,04$.
      On cherche donc $\sigma$ tel que $\dfrac{385 – 400}{\sigma} = -1,751$ soit $\sigma = \dfrac{15}{1,751} \approx 8,6$ au dixième près.
    • Deuxième rédaction : On utilise la calculatrice
      On veut que $P(X \ge 385) = 0,96$ soit $P(X < 385) = 0,04$
      $$ \begin{array}{ll} P(X \leq 385) = 0,04& \Longleftrightarrow P\left (\dfrac{X-400}{\sigma}\right ) \leq \dfrac{385-400}{\sigma}) = 0,04 \\ & \Longleftrightarrow P\left (T \leq -\dfrac{15}{\sigma}\right ) = 0,04 \\ & \Longleftrightarrow \Pi\left ( -\dfrac{15}{\sigma}\right ) = 0,04 \\ & \Longleftrightarrow -\dfrac{15}{\sigma} = \Pi^{-1}(0,04) \\ & \Longleftrightarrow -15 = \sigma \times \Pi^{-1}(0,04) \\ & \Longleftrightarrow \sigma = -\dfrac{15}{ \Pi^{-1}(0,04)} \\ & \Longleftrightarrow \sigma\approx 8,6 \\ \end{array} $$
    • Remarque :

      2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$

      $$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$

Partie B
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96 % de pains
commercialisables.
Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$.
  2. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

    $$I_{300} = [0,938;0,982]$$
  3. Parmi les $300$ pains de l'échantillon, $283$ sont commercialisables.
    Au regard de l'intervalle de fluctuationobtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ?
  4. $\dfrac{283}{300} \approx 0,943 \in I_{300}$. L’objectif est donc atteint.

Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

    1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.
      Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.
    2. On a donc $P(T \ge 30) = 0,913$ donc $\text{e}^{-30\lambda} = 0,913$ $\Leftrightarrow -30\lambda = \text{ln }0,913$ $\Leftrightarrow \lambda = \dfrac{\text{ln }0,913}{-30}$.

 

      Donc $\lambda \approx 0,003$.
    1. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
    2. On cherche donc $P_{T \ge 60}(T \ge 90) = P_{T \ge 60}(T \ge 60 + 30) = P(T \ge 30) = 0,913$ (durée de vie sans vieillissement).
    3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
    4. $P(T \ge 365) = \text{e}^{-0,003 \times 365} = 0,335$. Le vendeur a donc tort.

 

      On cherche donc $n$ tel que $P(T \ge n) = 0,5$ soit $\text{e}^{-0,003n} = 0,5$ par conséquent $-0,003n = \text{ln } 0,5$ et $n = \dfrac{\text{ln }0,5}{-0,003} \approx 231,05$.

 

    Il y a donc une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant $231$ jours.

 



Exercice 4 5 points


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par
\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]
et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous :

    1. Étudier la limite de $f$ en $0$.
    2. Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
    3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
    1. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
      Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; + \infty[$,
      \[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
    2. Résoudre sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
    3. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
    1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
    2. En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
    3. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$.
      1. Démontrer que $0 \leqslant I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
      2. On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
      3. Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$.
      4. Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

 



Exercice 4 5 points


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]
et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous :

        1. Étudier la limite de $f$ en $0$.
        2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$ $\quad \lim\limits_{x \rightarrow 0} (1 + \text{ln }x) = -\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) = -\infty$.

          $\quad$

          $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \1}~\2=\3\\ \lim\limits_{x \to \1}~\4=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to \1}~\6=\7$
        1. Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
        2. D'après un résultat du cours on a : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}=0$

          Pour calculer la limite de $f$ en $+\infty$, on écrit $f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2} = \dfrac{1 }{x^2}+\dfrac{ \ln (x)}{x^2}$

          $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \1}~\2=\3\\ \lim\limits_{x \to \1}~\4=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to \1}~\6=\7$

          $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to \1}~\2=\3\\ \lim\limits_{x \to \1}~\4=\5 \end{array}\right\}$ par \8 on obtient: $\lim\limits_{x \to \1}~\6=\7$

        1. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
      $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty$ donc la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$
      $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0$ donc la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$
        1. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
          Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; + \infty[$,
          \[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
        2. $\1$ est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas:
          $\1=\dfrac{u}{v}$ d'où $\1'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2} $ avec pour tout réel $x$, dans $D_  {\1}$ :
          $\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =\2 \\ v(x)~ =\3 \end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\4 \\ v'(x)~ =\5 \end{array}\right.$ 

          $$\1'(x)=\dfrac{\left(\4\right ) \times\left(\5\right )- \left(\4\right ) \times\left(\2\right )}{\left(\5\right )^2}$$

        3. Résoudre sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
        4. $$ \begin{array}{ l l l } -1 - 2\ln (x) > 0 & \Longleftrightarrow - 2\ln (x) > 1 & \\ & \Longleftrightarrow \ln (x) < \frac{ 1}{2} & \text{car on divise par } -2 < 0\\ & \Longleftrightarrow 0 < x < \text{e} ^{-\frac{1}{2}} &\text{car } exp \text{  est strictement croissante sur } \mathbb{R} \\ \end{array}$$

          Par conséquent, puisque $x^3$ est positif sur $]0;+\infty[$, $f'(x)$ est positif sur $]0;\text{e}^{-0,5}[$ et négatif sur $ ]\text{e}^{-0,5};+\infty[$.

          $\quad$

        1. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.

        On a $f(\text{e}^{-0,5}) = \dfrac{0,5}{\text{e}^{-1}} = 0,5\text{e}=\dfrac{\text{e}}{2}$.
        1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
        2. $f(x) = 0 \Leftrightarrow 1 + \text{ln } x = 0 \Leftrightarrow x = \text{e}^{-1}$.

      La courbe $\mathcal{C}$ coupe donc l'axe des abscisses en un seul point de coordonnées $(\text{e}^{-1};0)$.
      li>
    1. En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$.
    2. A partir du tableau de variation : 


      Ayant $-1< -0,5$ on déduit grâce à la stricte croissance de la fonction exponentielle $\text{e}^{-1} < \text{e}^{-0,5}$ par conséquent sur $]0;\text{e}^{-1}[$, $f(x) < 0$.

 

      Sur $]\text{e}^{-1};+\infty[$, $f(x) > 0$.

 

      Et $f(\text{e}^{-1}) = 0$

 

    $\quad$