Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013 - Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre 0 et 1, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note $F_n = \frac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l'intervalle $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}} ; p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité au moins égale à 0,95 .

En déduire que l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à 0,95 .

Partie B

On cherche à étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples.

 

Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.
On note $r$ la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

1. On interroge un étudiant au hasard. On note:
   • $A$ l'évènement «l'étudiant répond $A$ »,
   • $B$ l'évènement «l'étudiant répond $B$ »,
   • $C$ l'évènement «l'étudiant répond $C$ »,
   • $R$ l'évènement «l'étudiant connait la réponse »,
   • $\overline{R}$ l'évènement contraire de $R$.
   1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
   2. Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A)=\frac13\left(1+2r\right)$.
   3. Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu'une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
2. Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard $400$ étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
   1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
   2. Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.
   Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % de l'estimation de $p$.
   En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95 % de $r$
   3. Dans la suite, on suppose que $r = 0,4$. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale.
      1. Donner les paramètres de cette loi normale.
      2. Donner une valeur approchée de $P(X\leqslant 250)$ à $10^{-2}$ près. On pourra s'aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de $P(X\leqslant t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question 2. c .