Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013 - Correction de l'Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A

$$\begin{array}{ll}p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f \le p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}& \Leftrightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f-p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}}\\&\Leftrightarrow -f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le -p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}} – f\\&\Leftrightarrow f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le p \le f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}\end{array}$$

Partie B

On cherche à étudier le nombre d'étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples.

Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.
On note $r$ la probabilité pour qu'un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

1. On interroge un étudiant au hasard. On note:
   • $A$ l'évènement «l'étudiant répond $A$ »,
   • $B$ l'évènement «l'étudiant répond $B$ »,
   • $C$ l'évènement «l'étudiant répond $C$ »,
   • $R$ l'évènement «l'étudiant connait la réponse »,
   • $\overline{R}$ l'évènement contraire de $R$.
   1. Traduire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilité.
   
   2. Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A)=\frac13\left(1+2r\right)$.
   D’après la propriété des probabilités totales :
   $$p(A) = r +(1-r) \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}(1+2r)$$
   $~$
   
   3. Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu'une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
   $p_A(R) = \dfrac{p(A \cap R)}{p(A)} = \dfrac{r}{\dfrac{1}{3}(1+2r)} = \dfrac{3r}{1+2r}$
2. Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu'interroger au hasard $400$ étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l'ensemble de tous les étudiants.
   1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.

   On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

   • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
   • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

   Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

   2. Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.Donner un intervalle de confiance au seuil de 95 % de l'estimation de $p$.
      En déduire un intervalle de confiance au seuil de 95 % de $r$.
   La fréquence observée est $f = \dfrac{240}{400} = 0,6$.
   Un intervalle de confiance au seuil de $95 \%$ est donc :
   $$I_{400} = \left[0,6 – \dfrac{1}{\sqrt{400}};0,6+\dfrac{1}{\sqrt{400}} \right] = [0,55;0,65]$$
   Par conséquent :
   $0,55 \le \dfrac{1}{3}(1+2r) \le 0,65$
   $\Leftrightarrow 1,65 \le 1+2r \le 1,95$
   $\Leftrightarrow 0,65 \le 2r \le 0,95$
   $\Leftrightarrow 0,325 \le r \le 0,475$
   $~$
   
   3. Dans la suite, on suppose que $r = 0,4$. Compte-tenu du grand nombre d'étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale.
      1. Donner les paramètres de cette loi normale.
      Si $r=0,4$ alors $p=0,6$
      Par conséquent $E(X) = np = 240$ et $V(X) = np(1-p) = 96 = \sigma^2$
      X suit donc la loi normale $\mathcal{N}(240;96)$
      
      2. Donner une valeur approchée de $P(X\leqslant 250)$ à $10^{-2}$ près. On pourra s'aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de $P(X\leqslant t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question 2. c .

      2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

      $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$