Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013 - Correction Spécialité

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Exercice 4 5 points

Commun ayant suivi l'enseignement de spécialité

On définit les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sur l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels par:
\[ u_0=0 ; v_0=1 , \text{et} \left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&\dfrac{u_n+v_n}{2}\\ v_{n+1}&=&\dfrac{u_n+2v_n}{3} \end{array} \right.\]
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

1. Calculer $u_1$ et $v_1$.
$u_1=\dfrac{0+1}{2} = 0,5$ $\qquad v_1 = \dfrac{0 + 2\times 1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
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2. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& u,v,w \text{ des nombres réels}\\ & N \text{ et } k \text{ des nombres entiers}\\ \text{ Initialisation :}& u \text{ prend la valeur } 0\\ & v \text{ prend la valeur } 1\\ \text{Début de l'algorithme :}& \\& \text{Entrer la valeur de } N
   \\&\text{Pour } k \text{ variant de 1 à } N\\ & w \text{ prend la valeur } u \\ & u \text{ prend la valeur } \dfrac{w+2v}{3}\\ & v \text{ prend la valeur } \dfrac{w+2v}{3}\\ &\text{Fin du Pour}\\ & \text{ Afficher } u\\ & \text{ Afficher } v\\ \text{ Fin de l'algorithme } &\\\hline \end{array} $$
   1. On exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline k & w & u & v \\ \hline 1& 0 & 0,5000 & 0,667 \\ \hline 2& 0,5000 & 0,5833 & 0,6111 \\ \hline \end{array}$$
   2. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
   Les valeurs affichées correspondent à $u_N$ et $v_N$.
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3. Pour tout entier naturel $n$ on définit le vecteur colonne $X_n$ par $X_n=\begin{pmatrix} u_n\\v_n \end{pmatrix}$ et la matrice $A$ par $A=\begin{pmatrix} \frac12&\frac12\\\frac13&\frac23 \end{pmatrix}$.
   1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}= AX_n$.
   $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + \dfrac{1}{2}v_n$
   $b_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{2}{3}v_n$
   Donc $X_{n+1} = AX_n$
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   2. Démontrer par récurrence que $X_n = A^nX_0$ pour tout entier naturel $n$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0X_0 = I_2X_0=X_0$. La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $X_n = A^nX_0$
   Alors $X_{n+1} = AX_n = A\times A^nX_0 = A^{n+1}X_0$.
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $X_n = A^nX^0$
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4. On définit les matrices $P$, $P'$ et $B$ par $P = \begin{pmatrix} \frac45&\frac65\\-\frac65&\frac65 \end{pmatrix}$, $P'=\begin{pmatrix} \frac12&-\frac12\\\frac12&\frac13 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1&0\\0&\frac16 \end{pmatrix}$.
   1. Calculer le produit $PP'$.
      On admet que $P'BP=A$.
      Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n=P'B^nP$.
   $PP’ = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$
   Initialisation : Si $n=0$ alors $P’B^0P = P’P = I_2 =A^0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = P’B^nP$
   Alors $A^{n+1} = A\times A^n = P’BP\times P’B^nP = P’B^{n+1}P$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   Par conséquent, pour tout entier $n$, $A^n = P’B^nP$.
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   2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $B^n=\begin{pmatrix} 1&0\\0&\left(\frac16\right)^n \end{pmatrix}$.
      En déduire l'expression de la matrice $A^n$ en fonction de $n$.
   On a donc $A^n = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{2}{5}&- \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \\\\- \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$
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5. 1. Montrer que $X_n=\begin{pmatrix} \frac35-\frac35\left(\frac16\right)^n\\ \frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n \end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.
      En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
   $X_n = A^n \begin{pmatrix}0\\\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} – \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} – \dfrac{3}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} \\\\ \dfrac{2}{ 5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$
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   Par conséquent $u_n = – \dfrac{3}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} $ et $v_n = – \dfrac{2}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} $
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   2. Déterminer alors les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
   $-1 < \dfrac{1}{6} < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{6^n} = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}v_n = \dfrac{3}{5}$