Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013 - Exercice 2

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Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A} ; \vec{\text{AB}}, \vec{\text{AD}}, \vec{\text{AE}}\right)$.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE).
3. Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{2}{3}\right)$.
4. Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire.
5. En déduire le volume du tétraèdre BEGD.