Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

• la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est $0,99$ ;
• la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est $0,001$.

1. Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1 %.
   On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
   On note $M$ l'évènement «  la personne choisie est malade»   et $T$ l'évènement «  le test est positif » .
   1. Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.
   
   2. Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$.
   Calculons la probabilité de l'événement $T$.
   $T=\left (M\cap T \right )\cup \left (\overline{M}\cap T \right ) $. La formule des probabilités totales donne $$p(T)=p\left (M\cap T \right )+p \left (\overline{M}\cap T \right )=p(M)\times p_{M}(T)+p(\overline{M}) \times p_{\overline{M}}(T) $$ soit $p(T)= 0,001\times 0,99+ 0,999\times 0,001 =0,001989=1,989 \times 10^{-3}$
   3. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse. Affirmation : «  Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade » .
   On veut calculer la probabilité de l'événement « Sachant que le test est positif, la personne soit malade » . soit à calculer la probabilité conditionnelle $p_{T}\left (M\right )=\dfrac{p\left (T\cap M\right )}{p(T)}=\dfrac{0,001 \times 0,99}{0,1989 \times 10^{-3} }=\dfrac{990}{1989}=\dfrac{110}{221} \approx 0,498$ $p_{T}\left (M\right )\approx 0,498 $ et donc $p_{T}\left (M\right ) < \dfrac{1 }{2 }$
   L'affirmation : «  Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade »  est donc vraie.
2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$.
   On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population. À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?

Tout d'abord on représente la situation avec l'arbre de probabilité mis à jour :

On cherche alors $x$ tel que $p_{T}\left (M\right )\geq 0,95$ $$p_{T}\left (M\right )=\dfrac{p\left (T\cap M\right )}{p(T)}$$ Calculons la probabilité de l'événement $T$. $T=\left (M\cap T \right )\cup \left (\overline{M}\cap T \right ) $.
La formule des probabilités totales donne $$p(T)=p\left (M\cap T \right )+p \left (\overline{M}\cap T \right )=p(M)\times p_{T}(C)+p(\overline{M}) \times p_{\overline{M}}(T) $$ soit $p(T)= x \times 0,99+ (1-x)\times 0,001 $ $$ \begin{array}{ l l l} p_{T}\left (M\right )\geq 0,95 & \iff \dfrac{ 0,99\times x } {x \times 0,99+ (1-x)\times 0,001} \geq 0,95 &\\ &\iff \dfrac{ 1000\times 0,99\times x }{1000\times \left (x \times 0,99+ (1-x)\times 0,001\right )} \geq 0,95 & \\ & \iff \dfrac{990x}{990x +1-x} \geq 0,95 & \\ & \iff \dfrac{990x}{989x +1 } \geq 0,95 & \\ & \iff 990 x \geq 0,95 \times (989x +1) & \text{ en multipliant par }(989x +1) > 0 \\ & \iff x\geq \dfrac{19}{1009} & \\ \end{array}$$
Le laboratoire décide de commercialiser un test dès que $x\geq \dfrac{19}{1009}$

Partie B

1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg.
   On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$, de moyenne $\mu = 900$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
   1. Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à $10^{-2}$.
   2ND   DISTR   2 NORMALCDF( 890  , 920,900   ,7)EXE 
   
   $Normalcdf(890,920,900,7)\approx 0,921$
   
   $P(890\leq X \leq 920)\approx 0,921$ à $ 10^{-3}$ près.
   2. Déterminer l'entier positif $h$ tel que $P(900 - h \leqslant X \leqslant 900 + h) \approx 0,99$ à $10^{-3}$ près.
   Posons $Z= \dfrac{X - \mu}{\sigma}=\dfrac{X - 900}{7}$ . La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
   $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
   
   $ P(900 - h \leqslant X \leqslant 900 + h) \approx 0,99 \Leftrightarrow p\left(\dfrac{900 -h - 900}{7} \leqslant\dfrac{X - 900}{7} \leq \dfrac{900 +h - 900}{7} \right)\approx 0,99 \Leftrightarrow p \left( -\dfrac{h}{7} \leq Z \leqslant \dfrac{h}{7} \right) \approx 0,99 $. On doit donc avoir $$p \left( -\dfrac{h}{7} \leq Z \leqslant \dfrac{h}{7} \right) \approx 0,99 \Leftrightarrow 2 \pi\left(\dfrac{h}{7}\right) -1 \approx 0,99 \Longleftrightarrow \pi\left(\dfrac{h}{7}\right) \approx \dfrac{1,99}{2} \Longleftrightarrow \dfrac{h}{7}\approx \pi^{-1}(0, 995)\Leftrightarrow h\approx 18,030 $$ La valeur attendue de $h$ est donc $ 18,030 $.
   
2. La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97 % de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de  1000 comprimés dans la production.
   La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à  1000 tirages successifs avec remise.
   Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53$ comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé.
   Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
Remarque : l'énoncé sous-entend que la taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à  1000 tirages successifs avec remise et donc le tirage de l'échantillon puisse se faire dans les conditions d'application d'une loi binomiale... il faudrait toujours le préciser.
Ici $ p = 0,97, n = 1 000$,donc on a bien $n \geq 30, np =970 \geq 5, n(1- p)=30 \geq 5$ et pour $\alpha = 0,05$, on a $u_{\alpha} \approx 1,96$. L'intervalle $\tilde{I_n}=\left [p-1,96\sqrt{\dfrac{pq}{n}};p+1,96\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\right ]=\left [0,97-1,96\sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{1000}};
0,97+1,96\sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{1000}}\right ]\approx [0,959 ; 0,981]$ de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 est donc environ $[0,959 ; 0,981]$.
Sur 1000 comprimés, 53 sont non conformes et donc 947 sont conformes, soit une fréquence de $\dfrac{947}{1 000} = 0,947$ : cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
Les réglage faits par le laboratoire ne sont donc pas convenables.