Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)


Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte.

Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

 

  1. Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A$(1~;~- 1~;~- 1)$, B(1~;~1~;~1), C(0~;~3~;~1) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x + y - z + 5 = 0$.

    Question 1

    Soit $\mathcal{D}_{1}$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}(2~;~-1~;~1)$ passant par A. Une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est :
    $$\begin{array}{llll}
    a. \left\{\begin{array}{l cl} x&=&2+t \\ y&=&- 1 - t\\ z&=&1 - t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})& b. \left\{\begin{array}{l cl} x&=&- 1 + 2t \\ y&=&1 - t\\ z&=&1 + t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})\\ c. \left\{\begin{array}{l cl} x&=&5 + 4t \\ y&=&- 3 - 2t\\ z&=&1 + 2t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})& d. \left\{\begin{array}{l cl} x&=&4 - 2t \\ y&=&- 2 + t\\ z&=&3 - 4 t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})\\ \end{array} $$

  2. La droite $\mathscr{D}_1$ passe par le point $A(1;-1;1)$ et a comme vecteur directeur $\vec {u}(2;-1;1)$

    Si on regarde les systèmes proposés, les vecteurs associés aux systèmes a. et d. ne sont pas colinéaires à $\vec{u}$.

    Si on prend le système b. avec $t=1$ alors $x=1$ mais $y=0$.

    Ce ne peut donc être que le système d.

    Vérifions que les coordonnées de $A$ vérifient le système.

    Si on prend $t=-1$ alors : $x=1$, $y=-1$ et $z=-1$. Ce qu’on voulait.

    Réponse c


  3. Question 2

    Soit $\mathcal{D}_{2}$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l cl} x&=&1 + t \\ y&=&- 3 - t\\ z&=&2 - 2 t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R})$.
    a. La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ ne sont pas sécants
    b. La droite $\mathcal{D}_{2}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
    c. La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point E$\left(\dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{7}{3}~;~\dfrac{10}{3} \right)$.
    d. La droite $\mathcal{D}_{2}$ et le plan $\mathcal{P}$ se coupent au point F$\left(\dfrac{4}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{22}{3} \right)$.
  4. Un vecteur directeur de $\mathscr{D}_2$ est $\vec{v}(1;-1;-2)$.
    Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;1;-1)$.

    Calculons $\vec{n}.\vec{u} = 2 – 1 + 2 = 3$. On peut donc rejeter les propositions a. et b.

    La droite et le plans sont sécants.

    Regardons si $E$ appartient au plan et à la droite.

    Pour $\mathscr{P}$ : $\dfrac{2}{3} – \dfrac{7}{3} – \dfrac{10}{3} + 5 = -5 + 5 = 0$.
    Pour $\mathscr{D}$ : Si $t=-\dfrac{2}{3}$ alors $x=\dfrac{1}{3}$, $y=-\dfrac{7}{3}$ et $z=\dfrac{10}{3}$.

    Réponse c

  5. Question 3

    a. L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan (ABC) est réduite à un point.

    b. Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont confondus.

    c. Le plan $\mathcal{P}$ coupe le plan (ABC) selon une droite.

    d. Le plan $\mathcal{P}$ et le plan (ABC) sont strictement parallèles.

    Question 4

  6. On a $\vec{AB}(0;2;2)$ et $\vec{AC}(-1;4;2)$. Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires.
    $\vec{n}.\vec{AB} = 0+2-2 = 0$ $\quad$ et $\quad$ $\vec{n}.\vec{AC} = -2+4-2 = 0$.

    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires. Les $2$ plans sont donc parallèles.

    Regardons si $A$ appartient à $\mathscr{P}$ : $2 – 1 + 1 + 5 = 7 \ne 0$.

    Donc les plans sont strictement parallèles.
    Réponse d

  7. Une mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au dixième de degré est égale à :
    $$\begin{array}{cccc} a. 22,2 \text { ° }& b. 0,4~\text { ° }& c. 67,8~\text { ° } & d. 1,2~\text { ° } \end{array}$$

  8. $\vec{AB}.\vec{AC} = 0+8+4 =12= AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$

    Or $AB = \sqrt{8}$ et $AC = \sqrt{21}$

    Donc $\cos \widehat{BAC} = \dfrac{12}{\sqrt{21 \times 8}} = \dfrac{\sqrt{42}}{7}$.

    Par conséquent $\widehat{BAC} \approx 22,2°$

    Réponse a

     

Exercice 2
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