Baccalauréat S Liban 27 mai 2014 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Les probabilités seront arrondies au dix millième.

Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.

Partie A :

L'élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée.

Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps.

Les jours où il prend le vélo, il arrive à l'heure dans $ 99,4 \%$ des cas et lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard dans $5\,\%$ des cas.

On choisit une date au hasard en période scolaire et on note $V$ l'évènement « L'élève se rend au lycée à vélo »,

$B$ l'évènement « l'élève se rend au lycée en bus » et $R$ l'évènement « L'élève arrive en retard au lycée ».

1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.

1. Déterminer la probabilité de l'évènement $V \cap R$.
D'après l'arbre ci-dessus $P\big(V \cap R\big)=0,7\times0,006=0,0042$.
2. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $ 0,0192 $
D'après l'arbre ci-dessus, la probabilité de l'évènement R est \[P(R)=P\big(V \cap R\big)+P\big(B \cap R\big)= 0,0042 + 0,3 \times 0,05 = 0,0192 \]
3. Un jour donné, l'élève est arrivé en retard au lycée. Quelle est la probabilité qu'il s'y soit rendu en bus?
On cherche à déterminer $P_{R}\big(B\big)$: \[P_{R}\big(B\big)=\dfrac{P\big(B\cap R\big)}{P\big(R\big)}=\dfrac{ 0,3 \times 0,05 }{ 0,0192 } = 0,78125 \]

Partie B : le vélo

On suppose dans cette partie que l'élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu'il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T$ qui suit le loi normale d'espérance $\mu = 17$ et d'écart-type $\sigma = 1,2$.

1. Déterminer la probabilité que l'élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée.
Cela revient à calculer $P\big(15\leqslant T\leqslant 20\big)$. À la calculatrice, nous obtenons, $P\big(15\leqslant T\leqslant 20\big)= 0,946 $
2. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu'il soit en retard au lycée?
Il sera en retard au lycée si il met plus de 20 minutes pour effectuer le trajet. On cherche donc la probabilité de l'évènement « $T \geqslant 20$ » . À la calculatrice, nous obtenons \[P\big( T\geqslant 20\big)= 0,0062 \]
3. L'élève part à vélo. Avant quelle heure doit-il partir pour arriver à l'heure au lycée avec une probabilité de $ 0,9 $ ? Arrondir le résultat à la minute près.
4. On cherche la durée maximale de son temps de parcours $T_0$ (en minutes) tel que $P\big( T\leqslant T_0\big)=0,9$. A la calculatrice, nous obtenons \[P\big( T\leqslant 18,5379\big)=0,9\] Ce qui signifie qu'il a une probabilité de $0,9$ de mettre moins de 18 minutes et 30 secondes (environ). Il peut donc partir au plus tard à 8 heures moins 18 minutes et 30 secondes, soit à 7 h 41 minutes et 30 secondes. à une minute près, il peut partir au maximum à 7 h 41,
   de sorte à avoir une probabilité d'arriver à l'heure de $ 0,9 $

Partie C : le bus

Lorsque l'élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire $T'$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu' = 15$ et d'écart-type $\sigma'$.

On sait que la probabilité qu'il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de $0,05$. On note $Z'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T'-15}{\sigma'}$

1. Quelle loi la variable aléatoire $Z'$ suit-elle ?
D'après le cours $Z'$ suit une loi normale centrée-réduite.
2. Déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de l'écart-type $\sigma'$ de la variable aléatoire $T'$.
Puisque $P\big(T' \geqslant 20\big)= 0,05$, il vient \[ P\Big(\dfrac{T'- 15}{\sigma'} \geqslant \dfrac{20-15}{\sigma'}\Big)= 0,05 \Leftrightarrow P\Big(Z' \geqslant \dfrac{5}{\sigma'}\Big)=0,05\] À la calculatrice, en considérant une loi normale centrée-réduite $Z'$, on trouve que \[ P\Big(Z'\geqslant 1,6449\Big)=0,05\] D'où \[\dfrac{5}{\sigma'}=1,6449 \] et donc \[\sigma'=\dfrac{5}{1,6449}=3,04\quad\text{ à }\quad 0,01\quad \text{près} \]