Baccalauréat S Métropole 11 septembre 2014

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Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, une courbe $\mathcal{C}$ et la droite (AB) où A et B sont les points de coordonnées respectives $(0~;~1)$  et $(-1~;~3)$.
Courbe On désigne par $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb R$ dont la courbe représentative est $\mathcal{C}$. On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a$ tel que pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 + ax\text{e}^{- x^2}.\]

1. 1. Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A.
   2. Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB).
   3. Démontrer que pour tout réel $x$, \[f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
   4. On suppose que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A. Déterminer la valeur du réel $a$.
2. D'après la question précédente, pour tout réel $x$, \[f(x) = x + 1 - 3x\text{e}^{- x^2}\quad \text{et} \quad f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)\text{e}^{- x^2}.\]
   1. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 1~;~0],\: f(x) > 0$.
   2. Démontrer que pour tout réel $x$ inférieur ou égal à $- 1, \:f'(x) > 0$.
   3. Démontrer qu'il existe un unique réel $c$ de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right]$ tel que $f(c) = 0$. Justifier que $c < - \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}$.
3. On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par : \[c \leqslant x \leqslant 0\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant f(x).\]
   1. Ecrire $\mathcal{A}$ sous la forme d'une intégrale.
   2. On admet que l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\:\text{d}x$ est une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-3}$ près. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I$.