Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Correction Exercice 2
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Correction de l'exercice 2 (5 points)
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Dans les questions 1. et 2. , le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On désigne par $\mathbb R$ l'ensemble des nombres réels.
- Affirmation 1 : Le point d'affixe $(-1 + \text{i})^{10}$ est situé sur l'axe imaginaire. $|-1 + \text{i}| = \sqrt{2}$ donc $-1 + \text{i} = \sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right) = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}3\pi/4}$
- Affirmation 2 : Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \[z - \overline{z} +2 - 4\text{i} = 0\] admet une solution unique. On note $z = x + \text{i}z$ un nombre complexe. On a alors $z – \overline{z} = 2y\text{i}$.
- Affirmation 3 : $\ln \left(\sqrt{\text{e}^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\text{e}^9 \right)}{\ln \left(\text{e}^2 \right)} = \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 - \ln 4}}$ $$\begin{array}{ll} \ln \left(\sqrt{\text{e}^7}\right) + \dfrac{\ln\left(\text{e}^9\right)}{\ln\left(\text{e}^2\right)} &= \dfrac{1}{2}\ln\left(\text{e}^7\right) + \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{7}{2} + \dfrac{9}{2} \\ &=\dfrac{16}{2} \\&=8 \end{array}$$ $$\begin{array}{ll} \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 2 – \ln 4}} & = \dfrac{\text{e}^{\ln 2} \times \text{e}^{\ln 3}}{\dfrac{\text{e}^{\ln 2}}{\text{e}^{\ln 4}}} \\ &= \dfrac{2 \times 3}{\dfrac{2}{4}}\\&= 12 \\ \end{array}$$
- Affirmation 4 : $\displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\:\text{d}x = - \ln \left(\dfrac{3}{5}\right)$ Une primitive de la fonction $f$ définie sur $\left[0;\ln 3\right]$ par $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}$ est la fonction $F$ définie sur le même intervalle par $F(x) = \ln \left(\text{e}^x + 2\right)$
- Affirmation 5 : L'équation $\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4$ admet une solution unique dans $\mathbb R$. Les solutions de l’équation doivent vérifier $x – 1> 0$ et $x + 2> 0$ soit $x > 1$.
Un argument de $(-1 + \text{i})^{10}$ est donc $- \dfrac{3\pi}{4} \times 10 = -\dfrac{15\pi}{2}$.
Le nombre $(-1 + \text{i})^{10}$ est donc un imaginaire pur.
Affirmation vraie
L’équation $z-\overline{z} + 2 – 4\text{i} = 0$ est donc équivalente à $2y\text{i} + 2 -4\text{i} = 0$ qui ne possède aucune solution.
Affirmation fausse
Affirmation fausse
On a ainsi :
$$\begin{array}{ll} I = \displaystyle \int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\text{d}x & = F(\ln 3) – F(0) \\ &= \ln\left(\text{e}^{\ln3} + 2\right) – \ln 2 \\
&=\ln 5 – \ln 2 \\ &= \ln \left(\dfrac{5}{2}\right) \\ &= -\ln\left(\dfrac{2}{5}\right) \end{array}$$
Affirmation vraie
$$\begin{array}{ll} \ln(x – 1) – \ln(x + 2) = \ln 4 & \Leftrightarrow \ln \dfrac{x – 1}{x + 2} = \ln 4 \quad \text{et } x > 1\\ & \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x+2} = 4 \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow x – 1 = 4(x + 2) \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow 3x = -9 \quad \text{et } x > 1 \\ & \Leftrightarrow x = -3 \quad \text{et } x > 1 \end{array}$$
L’équation ne possède donc pas de solution dans $\mathbb R$
Affirmation fausse
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