Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On donne les points A$(1~;~0~;~- 1)$, B$(1~;~2~;~3)$, C$(-5~;~5~;~0)$ et D$(11~;~1~;~-2)$. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Le point K est défini par $\vec{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{BC}}$.

1. 1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
   2. Démontrer que les points I, J et K définissent un plan.
   3. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(3~;~1~;~4)$ est un vecteur normal au plan (IJK). En déduire une équation cartésienne de ce plan.
2. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y + 4z - 8 = 0$.
   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD).
   2. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (BD).
   3. Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?