Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère l'algorithme suivant, où $A$ et $B$ sont des entiers naturels tels que $A < B$ : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{ Entrées :}& A \text{ et }B \text{ entiers naturels tels que } A < B\\ &\\ \text{ Variables :}& D \text{ est un entier}\\ &\text{ Les variables d'entrées } A \text{ et } B \\ &\\ \text{ Traitement :}&\\ &\text{ Affecter à } D \text{ la valeur de } B - A\\ &\\ &\text{ Tant que } D > 0\\ &B \text{ prend la valeur de } A\\ &A \text{ prend la valeur de } D\\ & \text{ Si }B > A \text{ Alors }\\ & D \text{ prend la valeur de } B - A\\ & \text{ Sinon }\\ & D \text{ prend la valeur de } A - B\\ &\text{ Fin Si }\\ &\text{ Fin Tant que }\\ &\\ \text{ Sortie :} &\text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$

  1. On entre $A = 12$ et $B = 14$. En remplissant le tableau donné en annexe , déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
  2. $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline A&B&D \\ \hline 12&14&2\\ \hline 2&12&10\\ \hline 10&2&8\\ \hline 8&10&2\\ \hline 2&8&6\\ \hline 6&2&4\\ \hline 4&6&2\\ \hline 2&4&2\\ \hline 2&2&0\\ \hline \end{array}$$ L’algorithme affiche donc $2$.
  3. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres $A$ et $B$. En entrant $A = 221$ et $B = 331$, l'algorithme affiche la valeur 1.
    1. Justifier qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation \[(\text{E})\qquad 221x - 331y = 1.\]
    2. Les nombres $221$ et $331$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, il existe un couple d’entier relatif $(a;b)$ tel que $221a+331b=1$ soit $221a – 331\times (-b) = 1$
      Le couple $(a;-b)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    3. Vérifier que le couple $(3~;~2)$ est une solution de l'équation (E). En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
    4. $221 \times 3 – 331 \times 2 = 663 – 662 = 1$.
      Le couple $(3;2)$ est donc une solution de l’équation $(E)$.
      Soit $(x;y)$ un autre couple solution.
      On a ainsi :
      $221x – 331y = 1$ et $221 \times 3 – 331 \times 2 = 1$.
      Par différence on obtient :
      $221(x – 3) – 331(y – 2) = 0$ soit $221(x – 3) = 331(y – 2)$
      $221$ et $331$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k \in \mathbb Z$ tel que :
      $x-3 = 331k$ et $y-2 = 221k$.
      D’où $x= 3 + 331k$ et $y = 2 +221k$.
      Réciproquement :
      Soit $k$ un entier relatif.
      $221(3 +331k) – 331(2 + 221k) = 663 + 221 \times 331k – 662 – 331 \times 221k = 1$.
      Les solutions de l’équation $(E)$ sont les couples $(3+331k;2+221k)$ pour tout $k \in \mathbb Z$.
  4. On considère les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = 2 + 221n \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} v_0& =& 3\\ v_{n+1}&=& v_n + 331 \end{array}\right.\]
    1. Exprimer $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
    2. $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $331$ et de premier terme $3$.
      Donc $v_n = 3 + 331n$ pour tout entier naturel $n$.
    3. Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(p~;~q)$ tels que $u_p = v_q,\quad 0 \leqslant p \leqslant 500\quad$ et $\quad0 \leqslant q \leqslant 500$.
    4. On cherche les couples d’entiers naturels $(p;q)$ tels que $2 +221p = 3 +331q$ soit $221p – 331q = 1$.
      Il s’agit des couples solutions de l’équation $(E)$.
      On veut donc que : $0 \le 3 +331k \le 500$ et $0 \le 2+221k \le 500$
      d’où $-3 \le 331k \le 497$ et $-2 \le 221k \le 498$
      soit finalement $\dfrac{-k}{331} \le k \le \dfrac{497}{331}$ et $\dfrac{-2}{221} \le k \le \dfrac{498}{221}$.
      Par conséquent $k\in \{0;1\}$.
      Les couples $(p;q)$ cherchés sont donc $(3;2)$ et $(334;223)$.
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