Baccalauréat série S Amérique du Sud 17 novembre 2014 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Suites

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb N$ par : \[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]

Partie A : Conjecture

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1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$.
$u_1 = -\dfrac{1}{2} \times 2^2 + 3 \times 2 – \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$
$\quad$
$u_2 = – \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 3 \times \dfrac{5}{2} – \dfrac{3}{2} = \dfrac{23}{8}$

2. Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$.
On a ensuite $u_3 \approx 2,99219$ et $u_4 \approx 2,99997$

3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
Il semblerait donc que la suite $(u_n)$ soit croissante et converge vers $3$.

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Partie B: Validation des conjectures

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n - 3$.

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1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$.
$$\begin{array}{ll} v_{n+1} &= u_{n+1} – 3 \\ &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n – \dfrac{3}{2} – 3 \\ &= -\dfrac{1}{2} u_n^2 + 3u_n – \dfrac{9}{2} \\ &= – \dfrac{1}{2} \left(u_n^2 – 6u_n + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{2} (u_n – 3)^2 \\ &= – \dfrac{1}{2} v_n^2 \end{array}$$
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant v_n \leqslant 0$.
Initialisation : Si $n = 0$ alors $v_0 = 2 – 3 = -1$ donc $-1 \le v_0 \le 0$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $-1 \le v_n \le 0$.
Ainsi $ 0 \le v_n^2 \le 1$ et $-\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{2}v_n^2 \le 0$ soit $-1 \le v_{n+1} \le 0$.
La propriété est donc vraie au rang $n+1$
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. Si la propriété est vraie au rang $n$ alors elle est également vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $-1 \le v_n \le 0$.

3. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$.
   $v_{n+1} – v_n = -\dfrac{1}{2}v_n^2 – v_n = -v_n \left(-\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$
   
   2. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
   On sait que $-1 \le v_n \le 0$ donc $-v_n \ge 0$
   De plus $-\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n \le 0$ soit $\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} v_n + 1 \le 1$. Par conséquent $\dfrac{1}{2} v_n + 1 \ge 0$
   Finalement, $v_{n+1}-v_n \ge 0$.
   La suite $(v_n)$ est donc croissante.
4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ?
La suite $(v_n)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc.

5. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1 ; 0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. Déterminer la valeur de $\ell$.
$l = -\dfrac{1}{2}l^2 \Leftrightarrow l + \dfrac{1}{2}l^2 = 0 \Leftrightarrow l \left(1 + \dfrac{1}{2}l \right) = 0$
Cela signifie donc que $l = 0$ ou $1 + \dfrac{1}{2}l = 0$ (et donc $l=-2$).
On sait que $l \in [-1;0]$. Par conséquent $l = 0$.

6. Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées ?
On sait que :
– la suite $(v_n)$ est croissante et converge vers $0$
– $u_n = v_n + 3$
Par conséquent la suite $(u_n)$ est également croissante et converge vers $3$.
Les conjectures de la partie A sont donc validées.