Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 - Correction Spécialité

Page 10 sur 10: Correction Spécialité

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.

---

Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence X, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l'agence Y au 1er janvier de l'année $2014 + n$, exprimées en millions d'euros. On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. On suppose que le 1er janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50 millions d'euros et l'agence Y possède 10 millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante : \[U_{n+1} = AU_{n} + B,\: \text{où}\:\: A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} \:\:\text{et}\:\ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\]

1. Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice $A$ et le coefficient 3 de la matrice $B$.
L’agence $X$ conserve $60\%$ de ses fonds d’une année sur l’autre.
$\quad$
Chaque année le siège de la banque transfère $3$ millions d’euros à l’agence $Y$.

2. Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences X et Y en 2015, exprimée en millions d'euros.
$U_0=\begin{pmatrix} 50 \\\\10 \end{pmatrix}$.

3. On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$.
   1. Donner sans détailler le calcul, la matrice $P DQ$.
   $PDQ = \begin{pmatrix} 0,6&0,15 \\\\0,2&0,4 \end{pmatrix} = A$.
   
   2. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. Dans la suite, on admettra que $QP = I$.
   Ce coefficient est obtenu à partir du calcul suivant : $0,25 \times 3 – 0,375 \times (2) = 0$

   ---

   On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n,$ $A^n = P D^nQ$.

   ---

4. On pose pour tout entier naturel $n,\: V_{n} = U_{n} - \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}$.
   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = AV_{n}$.
   $$\begin{array}{ll} V_{n+1} &= U_{n+1} – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\ &= AU_n+B – \begin{pmatrix} 5 \\ 20/3 \end{pmatrix} \\ &=AU_n + \begin{pmatrix} -4 \\ -11/3 \end{pmatrix} \end{array}$$
   Or $A\begin{pmatrix} -5 \\-20/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\-11/3 \end{pmatrix}$
   Donc $V_{n+1}=AV_n$.
   
   2. Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l'expression de $V_{n}$ en fonction de $A,\, n$ et $V_{0}$.
   $V_0 = \begin{pmatrix} = 45 \\ 10/3 \end{pmatrix}$.
   On a ainsi $V_n = A^nV_0$ pour tout $n \in \mathbb N$.
5. Soit $n$ un entier naturel. On admet que \[A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)\\ 0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.\]
   1. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs.
   Ce coefficient est donné par :
   $$\begin{array}{ll} v &= 45(0,25\times 0,3^n+0,75 \times 0,7^n) + \dfrac{10}{3}\left[0,375(-0,3^n+0,7^n)\right] \\ &= 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n \end{array}$$
   
   2. En déduire l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n$.
   On a ainsi $x_n = 10 \times 0,3^n+35\times 0,7^n + 5$
   
   3. Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
   $-1<0,3<1$ et $-1<0,7<1$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,3^n = \lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n = 0$.
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} x_n = 5$.
   Au bout d’un grand nombre d’année, les fonds disponibles de l’agence X seront de $5$ millions d’euros.