Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle-Calédonie 5 mars 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n$, par \[u_0 = 1 ~~v_0 = 0~~\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\ v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n\end{array}\right..\]

  1. Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2$.
  2. $u_1 = \sqrt{3} – 0 = \sqrt{3}$ $\quad v_1 = 1 + \sqrt{3} \times 0 = 1$
    $u_2 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} – 1 = 2$ $\quad v_2 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
  3. On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier naturel $N$ donné.
    1. On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Entrée : } & N \text{ est un nombre entier} \\ \text{Variables : } &K \text{ est un nombre entier }\\ & S \text{ est un nombre réel }\\ & T \text{ est un nombre réel }\\ \text{Initialisation : }&\text{ Affecter 1 à } S \\ &\text{ Affecter 0 à } T \\ &\text{ Affecter 0 à } K \\ \text{Traitement :} &\text{Tant que } K < N \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } \sqrt{3}S - T \text{ à } S \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } S + \sqrt{3} T \text{ à } T \\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K \\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : } &\text{ Afficher } S \\ &\text{ Afficher } T \\ \hline\end{array}$$ Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2$. Pour cela, on recopiera et complétera le tableau de variables ci-dessous : $$\begin{array}{ |c| c| }\hline S & T & K \\ \hline 1 &0 &0\\ \hline \sqrt{3} & \sqrt{3} &1 \\ \hline & &\\ \hline\end{array} $$
    2. $\quad$
      $\begin{array}{|c|c|c|} \hline S & T & K\\ \hline
      1 & 0 & 0\\ \hline \sqrt{3} & \sqrt{3} & 1\\ \hline 3-\sqrt{3}&6-\sqrt{3}&2\\ \hline \end{array}$
      b. Les valeurs trouvées pour $N=2$ ne correspondent pas à celles de $u_2$ et $v_2$.
      L’algorithme n’affiche donc pas les valeurs de $u_N$ et $v_N$.
    3. L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$ donné ? Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$.
    4. Un algorithme pourrait être :
      Entrée :
      $\quad$ $N$ est un nombre entier
      Variables :
      $\quad$ $K$ est un nombre entier
      $\quad$ $S$ est un nombre réel
      $\quad$ $T$ est un nombre réel
      $\quad$ $U$ est un nombre réel
      Initialisation :
      $\quad$ Affecter $1$ à $S$
      $\quad$ Affecter $0$ à $T$
      $\quad$ Affecter $0$ à $K$
      Traitement :
      $\quad$ Tant que $K < N$
      $\qquad$ Affecter $S$ à $U$
      $\qquad$ Affecter $\sqrt{3}U-T$ à $S$
      $\qquad$ Affecter $U+\sqrt{3}T$ à $T$
      $\qquad$ Affecter $K+1$ à $K$
      $\quad$ Fin Tant que
      Sortie :
      $\quad$ Afficher $S$
      $\quad$ Afficher $T$
  4. On pose, pour tout entier naturel $n,\: z_n = u_n + \text{i}v_n$. On note $a$ le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}$.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,$ \[z_{n+1} = az_n.\]
    2. $$\begin{array}{rl} z_{n+1} &= u_{n+1} + i v_{n+1}\\ & = \sqrt{3}u_n-v_n+i\left(u_n+\sqrt{v_n}\right)\\ &= \left(\sqrt{3} + i\right)u_n + \left(-1 +i \sqrt{3}\right)v_n \end{array}$$
      De plus :
      $$\begin{array}{rl} az_n &=\left(\sqrt{3} + i \right)(u_n + i v_n)\\ & = \left(\sqrt{3} + i\right)u_n + \left(i \sqrt{3} -1 \right) v_n\\ &= z_{n+1} \end{array}$$ $\quad$
    3. Ecrire $a$ sous forme exponentielle.
    4. $|a| = \sqrt{3 + 1} = 2$
      Donc $a = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}\right) = 2\text{e}^{i\pi/6}$.
    5. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\[\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\ v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\end{array}\right.\]
    6. La suite $(z_n)$ est donc géométrique de raison $a$ et de premier terme $z_0= u_0 = 1$.
      Donc $z_n = a^n$ pour tout entier naturel $n$.
      Par conséquent $z_n = 2^n\text{e}^{ni \pi/6}$
      Et $u_n = 2^n\cos\left(\dfrac{n\pi}{6}\right)$ et $v_n = 2^n\sin\left(\dfrac{n\pi}{6}\right)$
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