Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)


Commun à tous les candidats

 

Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\] Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.

  1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb R$ dont le dénominateur ne s’annule pas (somme de deux réels strictement positifs).
    $$\begin{array}{rl} f'(x) & = \dfrac{-3 \times (-2)\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)^2} \\ & = \dfrac{6\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)^2} \end{array}$$ Le dénominateur est toujours positifs. La fonction exponentielle étant toujours strictement positive, le numérateur l’est aussi.
    par conséquent pour tout réel $x$, $f'(x) > 0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb R$.
  3. Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} -2x = -\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \text{e}^{-2x} = 1$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$
    La droite $\Delta$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.
  5. Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb R$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
  6. $\lim\limits_{x \to -\infty} 1 + \text{e}^{-2x} = +\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

    D'après le théorème de la bijection :
    • $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right[$.
    • $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right[$.
    • $\lim\limits_{x \to \2}~\1(x)=\4$ et $\lim\limits_{x \to \3}~\1(x)=\5$

    $\1$ réalise donc une bijection de $\left]\2 ; \3\right[$ sur $\left]\4;\5\right[$
    $\6\in \left]\4;\5\right[$,
    donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left]\2 ; \3\right[$ .

    A l’aide de la calculatrice, on trouve $4 < \alpha < 4,01$.

Partie B
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $h(x) = 3 - f(x)$.

  1. Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\mathbb R$.
  2. La fonction $f$ est strictement croissante et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a : $f(x) < 3$ soit $3 – f(x) >0$.
    La fonction $h$ est donc positive sur $\mathbb R$.
  3. On désigne par $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$. Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb R$.
  4. $H$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    $$\begin{array}{rl} H'(x) &= -\dfrac{3}{2} \times -2\text{e}^{-2x} \times \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{3\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} \end{array}$$
    Or $$\begin{array}{rl} h(x) &= 3 – \dfrac{3}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{1 + 3\text{e}^{-2x} – 3}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{3\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} \\ & = H'(x) \end{array}$$ Par conséquent $H$ est bien une primitive de $h$ sur $\mathbb R$.
  5. Soit $a$ un réel strictement positif.
    1. Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x$.
    2. Puisque $h$ est une fonction continue et positive, $\displaystyle \int_0^a h(x)\mathrm{d}x$ correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe représentant la fonction $h$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=a$. Il s’agit donc de l’aire du domaine située entre $\Delta$ et $\mathscr{C}$ entre les deux droites verticales.
    3. Démontrer que $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
    4. $$\begin{array} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x & = H(a) – H(0) \\ & = -\dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{-2a}\right) + \dfrac{3}{2} \ln 2 \\ & = \dfrac{3}{2} \ln \left( \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-2a}}\right) \end{array}$$
    5. On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par $\left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant & 0\\ f(x) &\leqslant y&\leqslant 3 \end{array}\right.$
      Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
    6. L’aire de $\mathscr{D}$ correspond à $\lim\limits_{a \to +\infty} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x$.
      Or $\lim\limits_{a \to +\infty} 1 + \text{e}^{-2a} = 1$.
      Donc $\lim\limits_{a \to +\infty} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x = \dfrac{3}{2} \ln 2$
Exercice 2
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