Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier tenue $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation \[u_{n+1} = au_n + b\quad (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne 1).\] On pose, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$.

1. Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.
$$\begin{array}{rl} v_{n+1}&= u_{n+1} - \dfrac{b}{1 - a}\\ & = au_n + b – \dfrac{b}{1 -a} \\ & = au_n + \dfrac{ b(1 -a) – b}{1 -a} \\ & = au_n – \dfrac{ab}{1 – a} \\ & = a \left(u_n – \dfrac{b}{1 -a}\right) \\ & = av_n \end{array}$$ La suite $(v_n)$ est donc bien géométrique de raison $a$.

2. En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$.
Si $a \in ]-1;1[$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} a^n = 0$. Or, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n = a^n \times v_0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$.
Puisque $u_n = v_n + \dfrac{b}{1-a}$ cela signifie donc qu’alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{b}{1 -a}$.

Partie B
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.

1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
Avant qu’il ne taille la plante, celle-ci mesure $\dfrac{3}{4} \times 80 + 30 = 90$ cm

2. Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$.
   1. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
   Chaque année, au mois de mars, il coupe un quart de la hauteur de la plante. Il reste donc les trois quart de $h_n$. Elle pousse ensuite de $30$ cm.
   Donc $h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
   
   2. Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$. Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
   On constate, à l’aide de la calculatrice, que la suite $(h_n)$ semble être croissante.
   $\quad$
   Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : $h_1 – h_0 = 90 – 80 = 10 > 0$.
   la propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $h_{n+1} – h_n > 0$.
   Ainsi $h_{n+2} – h{n+1} = 0,75h_{n+1} + 30 – (0,75h_n + 30) = 0,75(h_{n+1} – h_n)$.
   Puisque nous avons supposé que $h_{n+1}-h_n > 0$ cela signifie que $h_{n+2} – h_{n+1} > 0$.
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   La suite $(h_n)$ est donc croissante.
   
   3. La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
   On utilise ici la partie A avec $a = 0,75$ et $b= 30$.
   Puisque $a \in ]-1;1[$, la suite $(h_n)$ converge vers $\dfrac{30}{1 -0,75} = 120$.