Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$,  N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$,  P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$.

1. Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.
2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{\text{MN}}$ et $\vec{\text{MP}}$. En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
3. On considère l'algorithme 1 donné en annexe.
   1. Exécuter  à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.
   2. À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ?
      Qu'en déduire pour le triangle MNP ?
4. On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.
5. On considère le vecteur $\vec{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP).
   1. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).
   2. On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vec{n}$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
6. Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
   1. Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
   2. On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$. Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

Annexe :

Algorithme 1:	Algorithme 2: ( A compléter )
Saisir $x_M, y_M,z_M,x_N,y_N,z_N,x_P,Y_P,z_P$ $d$ prend la valeur $x_N-x_M$ $e$ prend la valeur $y_N-y_M$ $f$ prend la valeur $z_N-z_M$ $g$ prend la valeur $x_P-x_M$ $h$ prend la valeur $y_P-y_M$ $i$ prend la valeur $z_P-z_M$ $k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$. Afficher $k$	Saisir $x_M, y_M,z_M,x_N,y_N,z_N,x_P,Y_P,z_P$ $d$ prend la valeur $x_N-x_M$ $e$ prend la valeur $y_N-y_M$ $f$ prend la valeur $z_N-z_M$ $g$ prend la valeur $x_P-x_M$ $h$ prend la valeur $y_P-y_M$ $i$ prend la valeur $z_P-z_M$