Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$, N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$, P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$.

  1. Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.
  2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{\text{MN}}$ et $\vec{\text{MP}}$. En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
  3. $\vec{MN}\left(-1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)$ et $\vec{MP}(0;-1;-2)$
    On a $\dfrac{0}{-1} \neq \dfrac{-1}{-\dfrac{1}{2}}$.
    Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points $M, N$ et $P$ ne sont pas alignés.
  4. On considère l'algorithme 1 donné en annexe.
    1. Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.
    2. L’algorithme affiche $0$.
    3. À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ?
      Qu'en déduire pour le triangle MNP ?
    4. L’algorithme 1 affiche le produit scalaire $\vec{MN}.\vec{MP}$.
      On constate donc que celui-ci est nul. Les deux vecteurs sont donc orthogonaux et le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.
  5. On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.
  6. Algorithme 2: ( complété )
    Saisir $x_M, y_M,z_M,x_N,y_N,z_N,x_P,Y_P,z_P$
    $d$ prend la valeur $x_N-x_M$
    $e$ prend la valeur $y_N-y_M$
    $f$ prend la valeur $z_N-z_M$
    $g$ prend la valeur $x_P-x_M$
    $h$ prend la valeur $y_P-y_M$
    $i$ prend la valeur $z_P-z_M$
    $k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$.
    $l$ prend la valeur $d^2+e^2+f^2$
    $m$ prend la valeur $g^2+h^2+i^2$
    Si $l=m$ et $k=0$
    alors afficher « le triangle est rectangle et isocèle en M »
    Sinon
    afficher « le triangle n’est pas rectangle et isocèle en M »
    Fin Si
  7. On considère le vecteur $\vec{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP).
    1. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).
    2. Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est de la forme :
      $$5x-8y+4z+d=0$$
      Le point $M$ appartient au plan donc :
      $5 – 8 + 3 – d = 0$ soit $d = 0$.
      Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc :
      $$5x-8y+4z = 0$$
    3. On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vec{n}$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    4. $F(1;0;1)$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est :
      $$\begin{cases} x = 1 + 5t \\y = -8t \qquad t\in \mathbb R \\z=1+4t \end{cases}$$
  8. Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
    1. Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
    2. Prenons $t = -\dfrac{3}{35}$ (solution de l’équation $-8t = \dfrac{24}{35}$).
      En remplaçant $t$ par cette valeur dans la représentation paramétrique obtenue précédemment on obtient les coordonnées de $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$ de l’énoncé.
      De plus $5\times \dfrac{4}{7} – 8\times \dfrac{24}{35} + 4\times \dfrac{23}{35} = 0$.
      Donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$ appartient au plan $(MNP)$.
      Donc $K\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
    3. On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$. Calculer le volume du tétraèdre MNPF.
    4. Calculons l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $MNP$ :
      $MN^2 = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{21}{16}$ soit $MN = \dfrac{\sqrt{21}}{4}$.
      $MP^2 = 1 + 4 = 5$ soit $MP = \sqrt{5}$.
      Ainsi $\mathscr{A} = \dfrac{\sqrt{105}}{8}$.
      $\quad$
      Le volume du tétraèdre est donc : $\dfrac{\dfrac{\sqrt{105}}{8} \times \sqrt{\dfrac{27}{35}}}{3} = \dfrac{3}{8}$.

Annexe :

 

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