Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015

 

Exercice 1 4 points

Commun à tous les candidats

Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\] Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.

1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
2. Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
3. Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb R$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

Partie B
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $h(x) = 3 - f(x)$.

1. Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\mathbb R$.
2. On désigne par $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$. Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb R$.
3. Soit $a$ un réel strictement positif.
   1. Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x$.
   2. Démontrer que $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
   3. On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par $\left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant & 0\\ f(x) &\leqslant y&\leqslant 3 \end{array}\right.$
      Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.

 

Correction de l'exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

 

Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\] Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$.

1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb R$ dont le dénominateur ne s’annule pas (somme de deux réels strictement positifs).
$$\begin{array}{rl} f'(x) & = \dfrac{-3 \times (-2)\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)^2} \\ & = \dfrac{6\text{e}^{-2x}}{\left(1 + \text{e}^{-2x}\right)^2} \end{array}$$ Le dénominateur est toujours positifs. La fonction exponentielle étant toujours strictement positive, le numérateur l’est aussi.
par conséquent pour tout réel $x$, $f'(x) > 0$.

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb R$.
2. Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
$\lim\limits_{x \to +\infty} -2x = -\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \text{e}^{-2x} = 1$.
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$

La droite $\Delta$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}$.
3. Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb R$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
$\lim\limits_{x \to -\infty} 1 + \text{e}^{-2x} = +\infty$.
Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

D'après le théorème de la bijection :

• $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right[$.
• $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right[$.
• $\lim\limits_{x \to \2}~\1(x)=\4$ et $\lim\limits_{x \to \3}~\1(x)=\5$

$\1$ réalise donc une bijection de $\left]\2 ; \3\right[$ sur $\left]\4;\5\right[$
$\6\in \left]\4;\5\right[$,
donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left]\2 ; \3\right[$ .

A l’aide de la calculatrice, on trouve $4 < \alpha < 4,01$.

Partie B
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $h(x) = 3 - f(x)$.

1. Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\mathbb R$.
La fonction $f$ est strictement croissante et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a : $f(x) < 3$ soit $3 – f(x) >0$.
La fonction $h$ est donc positive sur $\mathbb R$.

2. On désigne par $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$. Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb R$.
$H$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
$$\begin{array}{rl} H'(x) &= -\dfrac{3}{2} \times -2\text{e}^{-2x} \times \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{3\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} \end{array}$$
Or $$\begin{array}{rl} h(x) &= 3 – \dfrac{3}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{1 + 3\text{e}^{-2x} – 3}{1 + \text{e}^{-2x}} \\ & = \dfrac{3\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} \\ & = H'(x) \end{array}$$ Par conséquent $H$ est bien une primitive de $h$ sur $\mathbb R$.
3. Soit $a$ un réel strictement positif.
   1. Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x$.
   Puisque $h$ est une fonction continue et positive, $\displaystyle \int_0^a h(x)\mathrm{d}x$ correspond à l’aire du domaine situé entre la courbe représentant la fonction $h$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=a$. Il s’agit donc de l’aire du domaine située entre $\Delta$ et $\mathscr{C}$ entre les deux droites verticales.
   
   2. Démontrer que $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$.
   $$\begin{array} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x & = H(a) – H(0) \\ & = -\dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{-2a}\right) + \dfrac{3}{2} \ln 2 \\ & = \dfrac{3}{2} \ln \left( \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-2a}}\right) \end{array}$$
   3. On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par $\left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant & 0\\ f(x) &\leqslant y&\leqslant 3 \end{array}\right.$
      Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.
   L’aire de $\mathscr{D}$ correspond à $\lim\limits_{a \to +\infty} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x$.
   Or $\lim\limits_{a \to +\infty} 1 + \text{e}^{-2a} = 1$.
   Donc $\lim\limits_{a \to +\infty} \displaystyle \int_0^a h(x) \mathrm{d}x = \dfrac{3}{2} \ln 2$

Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Partie A
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier tenue $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation \[u_{n+1} = au_n + b\quad (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne 1).\] On pose, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$.

1. Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.
2. En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$.

Partie B
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.

1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
2. Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$.
   1. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
   2. Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$. Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
   3. La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.

 

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier tenue $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation \[u_{n+1} = au_n + b\quad (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne 1).\] On pose, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$.

1. Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.
$$\begin{array}{rl} v_{n+1}&= u_{n+1} - \dfrac{b}{1 - a}\\ & = au_n + b – \dfrac{b}{1 -a} \\ & = au_n + \dfrac{ b(1 -a) – b}{1 -a} \\ & = au_n – \dfrac{ab}{1 – a} \\ & = a \left(u_n – \dfrac{b}{1 -a}\right) \\ & = av_n \end{array}$$ La suite $(v_n)$ est donc bien géométrique de raison $a$.

2. En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$.
Si $a \in ]-1;1[$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} a^n = 0$. Or, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n = a^n \times v_0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$.
Puisque $u_n = v_n + \dfrac{b}{1-a}$ cela signifie donc qu’alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{b}{1 -a}$.

Partie B
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante.

1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
Avant qu’il ne taille la plante, celle-ci mesure $\dfrac{3}{4} \times 80 + 30 = 90$ cm

2. Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$.
   1. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
   Chaque année, au mois de mars, il coupe un quart de la hauteur de la plante. Il reste donc les trois quart de $h_n$. Elle pousse ensuite de $30$ cm.
   Donc $h_{n+1} = 0,75h_n + 30$.
   
   2. Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$. Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
   On constate, à l’aide de la calculatrice, que la suite $(h_n)$ semble être croissante.
   $\quad$
   Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : $h_1 – h_0 = 90 – 80 = 10 > 0$.
   la propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $h_{n+1} – h_n > 0$.
   Ainsi $h_{n+2} – h{n+1} = 0,75h_{n+1} + 30 – (0,75h_n + 30) = 0,75(h_{n+1} – h_n)$.
   Puisque nous avons supposé que $h_{n+1}-h_n > 0$ cela signifie que $h_{n+2} – h_{n+1} > 0$.
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   La suite $(h_n)$ est donc croissante.
   
   3. La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
   On utilise ici la partie A avec $a = 0,75$ et $b= 30$.
   Puisque $a \in ]-1;1[$, la suite $(h_n)$ converge vers $\dfrac{30}{1 -0,75} = 120$.

 

Exercice 3 6 points

ProbabilitésLes parties A et B peuvent être traitées indépendamment .
Partie A Etude de la durée de vie d'un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.

1. 1. En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
   2. Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ?
2. On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}$.
   1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
   2. Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
   3. En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
3. Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$. Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
   1. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.
   2. Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.

Partie B Etude de l'extension de garantie d'El'Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires. Des études statistiques menées  sur les clients qui prennent l'extension de garantie montrent que 11,5  % d'entre eux font jouer l'extension de garantie.

1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
   1. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à $10^{-3}$.
   2. Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$.
2. L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros,  si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année . Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable. On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.
   1. Justifier que $Y$ prend les valeurs $65$ et $- 334$ puis donner la loi de probabilité de $Y$.
   2. Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l'entreprise ? Justifier.

 

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

ProbabilitésLes parties A et B peuvent être traitées indépendamment .
Partie A Etude de la durée de vie d'un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous.

1. 1. En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$.
   On a $P(X \le \mu -20) = 0,16$ donc $P(X \ge \mu + 20) = P(X \ge 104)= 0,16$.
   Or $P(X \le 64) + P(64 \le X \le 104) + P(X \ge 104) = 1$
   Par conséquent $P(64 \le X \le 104) = 1 – 2 \times 0,16 = 0,68)$.
   
   2. Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ?
   On a ainsi $P(\mu – 20 \le X \le \mu +20) = 0,68$.
   D’après le résultat du cours, cela signifie que $\sigma \approx 20$.
2. On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}$.
   1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ?
   La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
   
   2. Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$.
   
   $$\begin{array}{rl} P(X \le 64) & = P(X – 84 \le -20) \\ & = P\left( \dfrac{X – 84}{\sigma}\le \dfrac{-20}{\sigma}\right)\\ & = P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right) \end{array}$$
   3. En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$.
   On a donc $P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right) = 0,16$.
   Par conséquent $\dfrac{-20}{\sigma} \approx -0,9945$
   donc $\sigma \approx 20,11$.
   Remarque : $$\begin{array}{rl} P \left(Z \le \dfrac{-20}{\sigma}\right) = 0,16&\iff \pi\left(\dfrac{-20}{\sigma}\right) = 0,16\\ & \iff \dfrac{-20}{\sigma}= \pi^{-1}(0.16)\\ &\iff -20 = \sigma \pi^{-1}(0.16)\\ &\iff \sigma= \dfrac{-20}{\pi^{-1}(0.16)}\\ &\iff \sigma= -20\times Fracnormale(0.16) \end{array}$$

   2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$

   $$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$
3. Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$. Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.
   1. Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.
   On cherche donc $P(24 \le X \le 60) \approx 0,115$
   
   

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   
   
   
   2. Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
   $P(X \le 120) = 0,5 – P(84 \le X \le 120) \approx 0,037$

    

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

Partie B Etude de l'extension de garantie d'El'Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires. Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l'extension de garantie montrent que 11,5 % d'entre eux font jouer l'extension de garantie.

1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
   1. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à $10^{-3}$.
   On appelle $C$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients faisant jouer l’extension de garantie.
   

   On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

   • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
   • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

   Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

   Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

   2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

   $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
   
   
   2. Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$.
   On veut $P(C \ge 6) = 1 – P(C \le 5) \approx 0,001$. (résultat obtenu à l’aide de la calculatrice).
   

    

   2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
   Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
2. L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année . Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable. On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie.
   1. Justifier que $Y$ prend les valeurs $65$ et $- 334$ puis donner la loi de probabilité de $Y$.
   Il y a deux possibilités :
   – le client ne fait pas jouer l’extension de garantie et auquel cas l’entreprise gagne $65$ euros.
   – le client fait jouer l’extension de garantie et l’entreprise perd $399 – 65 = 334$ euros.
   Ainsi $Y$ prend bien deux valeurs $65$ et $ -334$.
   
   2. Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l'entreprise ? Justifier.
   On a $P(Y = -334) = 0,115$ donc $P(Y = 65) = 0,885$.
   Ainsi $E(Y) = 0,115 \times (-334) + 65 \times 0,885 = 19,115 > 0$.
   Cette offre est donc financièrement avantageuse pour l’entreprise.

 

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$,  N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$,  P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$.

1. Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.
2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{\text{MN}}$ et $\vec{\text{MP}}$. En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
3. On considère l'algorithme 1 donné en annexe.
   1. Exécuter  à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.
   2. À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ?
      Qu'en déduire pour le triangle MNP ?
4. On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.
5. On considère le vecteur $\vec{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP).
   1. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).
   2. On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vec{n}$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
6. Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
   1. Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
   2. On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$. Calculer le volume du tétraèdre MNPF.

Annexe :

Algorithme 1:	Algorithme 2: ( A compléter )
Saisir $x_M, y_M,z_M,x_N,y_N,z_N,x_P,Y_P,z_P$ $d$ prend la valeur $x_N-x_M$ $e$ prend la valeur $y_N-y_M$ $f$ prend la valeur $z_N-z_M$ $g$ prend la valeur $x_P-x_M$ $h$ prend la valeur $y_P-y_M$ $i$ prend la valeur $z_P-z_M$ $k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$. Afficher $k$	Saisir $x_M, y_M,z_M,x_N,y_N,z_N,x_P,Y_P,z_P$ $d$ prend la valeur $x_N-x_M$ $e$ prend la valeur $y_N-y_M$ $f$ prend la valeur $z_N-z_M$ $g$ prend la valeur $x_P-x_M$ $h$ prend la valeur $y_P-y_M$ $i$ prend la valeur $z_P-z_M$

Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$, N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$, P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$.

1. Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe.

2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{\text{MN}}$ et $\vec{\text{MP}}$. En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.
$\vec{MN}\left(-1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)$ et $\vec{MP}(0;-1;-2)$
On a $\dfrac{0}{-1} \neq \dfrac{-1}{-\dfrac{1}{2}}$.
Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires et les points $M, N$ et $P$ ne sont pas alignés.

3. On considère l'algorithme 1 donné en annexe.
   1. Exécuter à la main cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus.
   L’algorithme affiche $0$.
   2. À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ?
      Qu'en déduire pour le triangle MNP ?
   L’algorithme 1 affiche le produit scalaire $\vec{MN}.\vec{MP}$.
   On constate donc que celui-ci est nul. Les deux vecteurs sont donc orthogonaux et le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.
4. On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.

Algorithme 2: ( complété )

Saisir $x_M, y_M,z_M,x_N,y_N,z_N,x_P,Y_P,z_P$ $d$ prend la valeur $x_N-x_M$ $e$ prend la valeur $y_N-y_M$ $f$ prend la valeur $z_N-z_M$ $g$ prend la valeur $x_P-x_M$ $h$ prend la valeur $y_P-y_M$ $i$ prend la valeur $z_P-z_M$ $k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$. $l$ prend la valeur $d^2+e^2+f^2$ $m$ prend la valeur $g^2+h^2+i^2$ Si $l=m$ et $k=0$ alors afficher « le triangle est rectangle et isocèle en M » Sinon afficher « le triangle n’est pas rectangle et isocèle en M » Fin Si

5. On considère le vecteur $\vec{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP).
   1. Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).
   Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est de la forme :
   $$5x-8y+4z+d=0$$
   Le point $M$ appartient au plan donc :
   $5 – 8 + 3 – d = 0$ soit $d = 0$.
   Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc :
   $$5x-8y+4z = 0$$
   
   2. On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vec{n}$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
   $F(1;0;1)$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est :
   $$\begin{cases} x = 1 + 5t \\y = -8t \qquad t\in \mathbb R \\z=1+4t \end{cases}$$
6. Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$.
   1. Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
   Prenons $t = -\dfrac{3}{35}$ (solution de l’équation $-8t = \dfrac{24}{35}$).
   En remplaçant $t$ par cette valeur dans la représentation paramétrique obtenue précédemment on obtient les coordonnées de $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$ de l’énoncé.
   De plus $5\times \dfrac{4}{7} – 8\times \dfrac{24}{35} + 4\times \dfrac{23}{35} = 0$.
   Donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$ appartient au plan $(MNP)$.
   Donc $K\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
   
   2. On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$. Calculer le volume du tétraèdre MNPF.
   Calculons l’aire $\mathscr{A}$ du triangle $MNP$ :
   $MN^2 = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{21}{16}$ soit $MN = \dfrac{\sqrt{21}}{4}$.
   $MP^2 = 1 + 4 = 5$ soit $MP = \sqrt{5}$.
   Ainsi $\mathscr{A} = \dfrac{\sqrt{105}}{8}$.
   $\quad$
   Le volume du tétraèdre est donc : $\dfrac{\dfrac{\sqrt{105}}{8} \times \sqrt{\dfrac{27}{35}}}{3} = \dfrac{3}{8}$.

Annexe :

 

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les nombres de la forme $2^n - 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne .

1. On désigne par $a,\: b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que PGCD$(b~;~c) = 1$. Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :
   si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.
2. On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$. Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous. $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \left(2^{33} - 1 \right)\div 3 & 2863311530\\ \left(2^{33} - 1 \right)\div 4 & 2147483648\\ \left(2^{33} - 1 \right)\div 12 & 715827882,6\\\hline \end{array} $$
   Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
   1. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question  1.?
   2. Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
   3. En remarquant que $2 \equiv - 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$.
   4. Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$.
   5. En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$.
3. On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$. Est-il premier ? Justifier.
4. On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division euclidienne de $N$ par $k$. $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Variables :}& n \text{ entier naturel supérieur ou égal à } 3\\ & k \text{entier naturel supérieur ou égal à 2}\\ \text{Initialisation :}& \text{Demander à l'utilisateur la valeur de } n .\\ & \text{ Affecter à } k \text{ la valeur 2.}\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que MOD}\left(2^n - 1,~k\right) \ne 0 \text{ et }k \leqslant \sqrt{2^n -1} \\ &\hspace{1cm} \text{Affecter à } k \text{ la valeur } k + 1 \\ & \text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{Afficher} k .\\ & \text{ Si } k > \sqrt{2^n -1} \\ &\hspace{1cm} \text{Afficher « CAS 1 »}\\ &\text{ Sinon }\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher « CAS 2 »}\\ & \text{ Fin de Si }\\ \hline \end{array}$$
   1. Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?
   2. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
   3. Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?

 

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les nombres de la forme $2^n - 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne .

1. On désigne par $a,\: b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que PGCD$(b~;~c) = 1$. Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :
   si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.
deux nombres $b$ et $c$ sont premiers entre eux.
Il existe un entier naturel $b’$ tel que $a= b’b$ et un entier naturel $c’$ tel que $a = cc’$.
Donc $bb’ = cc’$.
Puisque $b$ et $c$ sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, $b$ divisant $cc’$ divise $c’$.
Ainsi il existe un entier naturel $q$ tel que $c’=bq$.
Donc $a=cbq$. et $bc$ divise $a$.

2. On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$. Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous. $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \left(2^{33} - 1 \right)\div 3 & 2863311530\\ \left(2^{33} - 1 \right)\div 4 & 2147483648\\ \left(2^{33} - 1 \right)\div 12 & 715827882,6\\\hline \end{array} $$
   Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
   1. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1.?
   $3$ et $4$ sont premiers entre eux et divise tous les deux $2^{33}-1$ d’après la calculatrice.
   D’après le résultat précédent $3 \times 4 = 12$ devrait donc également diviser $2^{33}-1$.
   
   2. Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
   $33 > 2$ donc $4$ divisise $2^{33}$.
   Si $4$ divise $2^{33}-1$ alors $4$ divise $1$ ce qui est impossible.
   Donc $4$ ne divise pas $2^{33}-1$.
   
   3. En remarquant que $2 \equiv - 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$.
   $2 \equiv -1 ~[3]$ donc $2^{33} \equiv -1~[3]$ d’où $2^{33} – 1 \equiv -2~[3]$.
   Donc $3$ ne divise pas $2^{33}-1$.
   
   4. Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$.
   $S$ est la somme de termes d’une suite géométrique de raison $2^3$ :
   $S = \dfrac{1 – \left(2^3\right)^{11}}{1 – 2^3} = \dfrac{2^{33}-1}{7}$.
   
   5. En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$.
   $S$ est nécessairement un nombre entier. Par conséquent $\dfrac{2^{33}-1}{7}$ aussi et $7$ divise $2^{33}-1$.
3. On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$. Est-il premier ? Justifier.
4. On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division euclidienne de $N$ par $k$. $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Variables :}& n \text{ entier naturel supérieur ou égal à } 3\\ & k \text{entier naturel supérieur ou égal à 2}\\ \text{Initialisation :}& \text{Demander à l'utilisateur la valeur de } n .\\ & \text{ Affecter à } k \text{ la valeur 2.}\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que MOD}\left(2^n - 1,~k\right) \ne 0 \text{ et }k \leqslant \sqrt{2^n -1} \\ &\hspace{1cm} \text{Affecter à } k \text{ la valeur } k + 1 \\ & \text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{Afficher} k .\\ & \text{ Si } k > \sqrt{2^n -1} \\ &\hspace{1cm} \text{Afficher « CAS 1 »}\\ &\text{ Sinon }\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher « CAS 2 »}\\ & \text{ Fin de Si }\\ \hline \end{array}$$
   1. Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?
   $2^7 – 1 = 127$ $\sqrt{127} \approx 11,3$.
   On teste si $127$ est divisible par les nombres premiers inférieurs ou égaux à $11$. Ce qui n’est pas le cas.
   Donc $2^7-1$ est premier.
   
   • Si on saisit $n=33$ alors l’algorithme affiche $7$ et  « CAS 2 » .
   • Si on saisit $n=7$ alors l’algorithme affiche $12$ et  «CAS 1»  .
     $\quad$
   2. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
   Le  « CAS 2  » signifie que le nombre de Mersenne n’est pas premier. Le nombre $k$ affiché est le plus petit diviseur de $2^n-1$ strictement supérieur à $1$.
   
   3. Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
   Le  « CAS 1 » signifie que le nombre de Mersenne étudié est premier.