Baccalauréat S Liban 27 mai 2015 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats


On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : pour tout entier naturel $n$,  $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$.

  1. Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
    2. En déduire la valeur exacte de $u_1$.
    1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur. $$ \begin {array}{|cc|}\hline \text{Variables :}& i \text{ et } n \text{ sont des entiers naturels}\\ & u \text{ est un réel}\\ \text{Entrée :}& \text{Saisir } n \\ \text{Initialisation :}& \text{Affecter à } u \text{ la valeur } \ldots\\ \text{Traitement :}& \text{ Pour } i \text{ variant de 1 à } \ldots\\ &\hspace{0.4cm} | \text{ Affecter à } u \text{ la valeur }\ldots\\ & \text{Fin de Pour }\\ \text{ Sortie :}& \text{ Afficher } u \\ \hline \end {array} $$
    2. À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant : $$\begin {array}{ |c|c| c|c|c|c| c|c|c|}\hline n & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &10 &50 &100\\ \hline u_n & 0,6931 & 0,3069 & 0,1931 & 0,1402 & 0,1098 & 0,0902 & 0,0475 & 0,0099 & 0,0050 \\ \hline \end {array}$$ Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
    1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
  2. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.
Correction Exercice 2
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