Baccalauréat S Liban 27 mai 2015 - Correction Exercice 4
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Correction de l'exercice 4 5 points
En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs. Parmi les 1200 personnes qui ont répondu au sondage, 47 % affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.
Compte-tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10 % des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.
On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :
- $A$ l'évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A » ;
- $B$ l'évènement « La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B » ;
- $V$ l'évènement « La personne interrogée dit la vérité ».
- Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
-
- Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité. D’après la formule des probabilités totales on a :
- Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu'elle affirme vouloir voter pour le candidat A. $p_V(A) = \dfrac{p(V \cap A)}{p(V)} = \dfrac{0,47 \times 0,9}{0,847}$ $=\dfrac{423}{847}$
$$\begin{align*} p(V) &= p(A\cap V)+p(B\cap V)\\& =0,47 \times 0,9 + 0,53 \times 0,8\\ & = 0,847 \end{align*}$$
$\quad$ - Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est $0,529$. La probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est donnée par :
- L'institut de sondage publie alors les résultats suivants : $$ \begin {array}{|c|}\hline \text{52,9% des électeurs* voteraient pour le candidat A.}\\ \text{* estimation après redressement, fondée sur un sondage d'un échantillon représentatif de 1200 personnes.}\\ \hline \end {array} $$ Au seuil de confiance de 95%, le candidat A peut- il croire en sa victoire ? On a $n= 1~200 > 30$ et $f=0,529$
- Pour effectuer ce sondage, l'institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu'une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est $0,4$. L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de 1200 réponses. Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ? Soit $n$ le nombre de demi-heures nécessaires à cette enquête.
$$\begin{align*} p(A \cap V) + p\left(B \cap \overline{V}\right) &= 0,47 \times 0,9 + 0,53 \times 0,2\\ &= 0,529 \end{align*}$$
Donc $nf = 634,8 >5$ et $n(1-f) = 565,2 > 5$
On peut donc déterminer un intervalle de confiance :
$\begin{align*} I_{1~200} &= \left[0,529 – \dfrac{1}{\sqrt{1~200}};0,529 + \dfrac{1}{\sqrt{1~200}}\right]\\
& \approx [0,5001;0,5579]
\end{align*}$
Or $0,5001 > 0,5$ donc le candidat A peut croire ne sa victoire.
On a ainsi contacté $10n$ personnes et $10n \times 0,4 = 4n$ personnes ont répondu à cette enquête.
On veut donc que $4n = 1~200$ soit $n = 300$.
Il faut donc prévoir $300$ demi-heure soit $150$ heures pour que l’institut parvienne à son objectif.
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