Baccalauréat S Liban 27 mai 2015 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante :

• s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ;
• s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6.

On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose que $p_0 = 0$ et $q_0 = 1$.

1. Calculer $p_1$ et $q_1$.
2. On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$. Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous : $$ \begin {array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 &n &p_n &q_n &\\ \hline 2 &0 &0 &1 &\\ \hline 3 &1 & & &\\ \hline 4 &2 & & &\\ \hline 5 &3 & & &\\ \hline \end {array} $$ Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel $n$. Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$ ?
3. On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$, $X_n$ par $$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.$$ On admet que $X_{n+1} = M \times X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n = M^n \times X_0$. On définit les matrices $A$ et $B$ par $A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,2& - 0,8\\- 0,2&0,8\end{pmatrix}$.
   1. Démontrer que $M = A + 0,5B$.
   2. Vérifier que $A^2 = A$, et que $A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}$. On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$ et $B^n = B$.
   3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,  $M^n = A + 0,5^n B$.
   4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$  $p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n$.
   5. À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?