Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 6 points


Commun à tous les candidats


Partie A
Soit $u$ la fonction définie sur $]0;+ \infty[$ par \[u(x) = \ln(x) + x - 3.\]
  1. Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.
  2. Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3.
  3. En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$.

Partie B
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par \[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) - 2] + 2.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
    1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+ \infty[$, $f’(x) = \dfrac{u(x)}{x^2} $ où $u$ est la fonction définie dans la partie A.
    2. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.

Partie C
Soit $\mathcal{C}’$ la courbe d'équation $y = \ln (x)$.
  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+ \infty[$, $f(x) - \ln(x) = \dfrac{2 - \ln (x)}{x}$. En déduire que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}’$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
  2. On admet que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par \[H(x) = \dfrac{1}{2} [\ln (x)]^2\] est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$. Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}^2}\dfrac{2 - \ln x}{x}\:\text{d}x$. Interpréter graphiquement ce résultat.

 

Correction Exercice 4
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