Baccalauréat S Asie 17 juin 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)


Commun à tous les candidats

QCMPour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Dans les questions 1 et 2, on munit l'espace d'un repère orthonormé, et on considère les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ d'équations respectives$ x+ y + z - 5 = 0$ et $7x - 2y + z - 2 = 0$.
  1. Affirmation 1 : les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
  2. Affirmation 1 : Fausse
    On appelle $\vec{n}_1(1;1;1)$ et $\vec{n_2}(7;-2;1)$ des vecteurs normaux respectivement aux plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\vec{n}_1.\vec{n}_2 = 7 -2 + 1 = 6 \neq 0$.

    Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux. Par conséquent les plans ne sont pas perpendiculaires.

    Affirmation 1 : fausse
  3. Affirmation 2 : les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ se coupent suivant la droite de représentation paramétrique: \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{- 3}t\\ y&=&\phantom{-}2t + 1\\ z&=&- 3t + 4 \end{array}\right., t \in\mathbb R.\]
  4. Affirmation 2 : Vraie
    Notons $\Delta$, la droite de représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{- 3}t\\ y&=&\phantom{-}2t + 1\\ z&=&- 3t + 4 \end{array}\right., t \in\mathbb R.$

    Les deux vecteurs n’étant clairement pas colinéaires, les plans sont sécants.
    regardons si la droite dont une représentation paramétrique nous est fournie est incluse dans chacun des plans.
    Pour le plan $\mathscr{P}_1$ :
    $ t + 2t + 1 -3t + 4 – 5 = 3t – 3t + 5 – 5 = 0$, ainsi $\Delta\subset \mathscr{P}_1$
    Pour le plan $\mathscr{P}_2$ :
    $7t – 2(2t + 1) + (-3t + 4) – 2 = 7t – 4t -2 -3t + 4 – 2 = 0$, ainsi $\Delta\subset \mathscr{P}_2$.
    $\quad$
    La représentation paramétrique fournie vérifie bien les équations cartésiennes des deux plans. Il s’agit donc bien de la représentation paramétrique de la l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.

    Affirmation 2 : vraie
  5. Un joueur de jeux vidéo en ligne adopte toujours la même stratégie. Sur les 312 premières parties jouées, il en gagne 223. On assimile les parties jouées à un échantillon aléatoire de taille $312$ dans l'ensemble des parties. On souhaite estimer la proportion de parties que va gagner le joueur, sur les prochaines parties qu'il jouera, tout en conservant la même stratégie.
    Affirmation 3 : au niveau de confiance de 95 %, la proportion de parties gagnées doit appartenir à l'intervalle [0,658 ; 0,771].
  6. La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  =\3$  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

    L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[I = \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f +\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\]
    La fréquence est $\8=\1$.

    • On arrondit la borne inférieure par défaut à $10^{-\7}$ près : $\1 - \dfrac{1}{\sqrt{\2}}\approx \10$ soit $\5$.
    • On arrondit la borne supérieure par excés à $10^{-\7}$ près : $\1 + \dfrac{1}{\sqrt{\2}}\approx \11$ soit $\6$.


    L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - \dfrac{1}{\sqrt{\2}}~;~\1 + \dfrac{1}{\sqrt{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 



    Affirmation 3 : vraie
  7. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|l|}\hline & a, b \text{ sont deux nombres réels tels que } a < b\\ VARIABLES & x \text{ est un nombre réel }\\ &f \text{ est une fonction définie sur l'intervalle } [a~;~b]\\ \hline &\text{ Lire } a \text{ et } b\\ &\text{ Tant que } b-a > 0,3\\ &\hspace{1cm}x \text{ prend la valeur } \dfrac{a+ b}{2}\\ TRAITEMENT &\hspace{1cm} \text{ Si } f(x) f(a) > 0, \text{ alors } a \text{ prend la valeur } x\\ &\hspace{3.4cm}\text{ sinon } b \text{ prend la valeur } x\\ &\hspace{1cm}\text{ Fin Si }\\ &\text{ Fin Tant que }\\ &\text{ Afficher }\dfrac{a+ b}{2} \\ \hline \end{array}$$ Affirmation 4 : si l'on entre $a = 1, b = 2$ et $f(x) = x^2 - 3$, alors l'algorithme affiche en sortie le nombre 1,6875 .
  8. Affirmation 4 :Fausse
    Effectuons les premières étapes
    $a = 1$ et $b = 2$ donc $b-a = 1 > 0,3$
    $x = 1,5$ or $f(1,5) = -0,75$ et $f(1) = -2$ donc $f(x)f(a) > 0$
    $\quad$
    Par conséquent $a = 1,5$ et $b= 2$ et $b-a= 0,5 > 0,3$
    $x= 1,75$ or $f(1,75) = 0,0625$ et $f(1,5) = -0,75$ donc $f(x)f(a) <0$
    $\quad$Par conséquent $a=1,5$ et $b=1,75$. Mais $1,75 – 1,5 = 0,25 <3$.
    L’algorithme affiche donc $\dfrac{1,5 + 1,75}{2} = 1,625$.

    Affirmation 4 : fausse
Exercice 3
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