Baccalauréat S Asie 17 juin 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le plan est muni du repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
Partie A : propriétés du nombre $j$

    1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb C$ des nombres complexes l'équation \[z^2 + z + 1 = 0.\]
    2. $\Delta = 1^2 – 4 = -3<0$
      Cette équation possède donc deux racines complexes conjuguées :
      $$z_1 = \dfrac{-1 – \text{i} \sqrt{3}}{2} \quad \text{ et } \quad z_2 = \dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$$
    3. Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation.
    4. $z_2 = \dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2} = j$.
      Donc $j$ est une solution de cette équation.
  1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle.
  2. $|j| =\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = 1$.
    $\begin{cases}\cos(\theta) = \dfrac{a}{r}= - \dfrac{1}{2}\\ \sin(\theta) = \dfrac{b}{r}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{cases}$ on déduit donc arg$(j)= \dfrac{2\pi}{3}$.
    Donc $j = \text{e}^{2\pi\text{i} /3}$
  3. Démontrer les égalités suivantes:
    1. $\text{j} ^3 = 1$ ;
    2. $j^3 = \left(\text{e}^{2\text{i} \pi /3}\right)^3 = \text{e}^{\text{i}2 \pi} =\text{e}^{\text{i}\times 0}= 1$
    3. $\text{j} ^2 = - 1 - \text{j}$.
    4. $j$ est solution de l’équation $z^2 + z +1 = 0$.
      $\quad$
      Par conséquent $j^2 + j + 1 = 0 \iff j^2 = -1 – j$.
  4. On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,j et j$^2$ dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.
  5. On a ainsi $PQ = |1 – j| = \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
    $PR = \left|1 – j^2\right| = |2 + j| = \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{3}$.
    $QR = |-1 – j – j| = |-1 – 2j|= \left|-1 + 1 + \sqrt{3}\text{i}\right| = \sqrt{3}$.
    Le triangle $PQR$ est donc équilatéral.

Partie B

Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$. On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan.
  1. En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$.
  2. $$\begin{array}{rl} a + jb + j^2c = 0 & \iff a + jb + (-1-j)c = 0\\ & \iff a + jb – c – jc = 0\\ & \iff a – c = j(c – b) \end{array}$$
  3. En déduire que AC = BC .
  4. On a :
    $$\begin{array}{rl} AC &= |c- a| \\ &= |a – c| \\ &= |j| |c – b| \\ &= |c – b| \\ &= BC \end{array}$$
  5. Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$.
  6. $$\begin{array}{rl} a – b & = -jb – j^2 c – b\\ & = (-1 – j)b – j^2 c\\ &= j^2b – j^2 c\\ &= j^2 (b – c) \end{array}$$
  7. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.
  8. On a $j^2 = \left(\text{e}^{2\pi\text{i} /3}\right)^2 = \text{e}^{4\pi\text{i} /3}$.
    Par conséquent $\left|j^2\right| = 1$.
    Donc :
    $$\begin{array}{rl} BA & = |a – b| \\ & = \left|j^2\right||b – c| \\ & = |b – c| \\ & = CB \end{array}$$
    Ainsi $AC = BC = AB$.
    Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.
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