Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (3 points)

Commun à tous les candidats

Géométrie dans l'espace

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2. I, J et K sont les points tels que $\vec{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vec{\text{AB}},\:\: \vec{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vec{\text{AD}},\:\: \vec{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vec{\text{AE}}$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vec{\text{AI}},~ \vec{\text{AJ}},~\vec{\text{AK}}\right)$.

1. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJG).
On a : $\vec{AB} = 6\vec{AI}$, $\vec{AD} = 4\vec{AJ}$ et $\vec{AE} = 2\vec{AK}$
On a donc les coordonnées suivantes :
$$I(1;0;0) \quad J(0;1;0) \quad G(6;4;2)$$
Ainsi $\vec{IJ}\begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vec{IG} \begin{pmatrix} 5\\4\\2\end{pmatrix}$.
On constate que :
$\vec{n}.\vec{IJ} =2 \times (-1) + 2 \times 1 + 0 = 0$
$\vec{n}.\vec{IG} = 2 \times 5 + 2 \times 4 – 9 \times 2 = 0$
Ainsi, $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJG)$. C’est donc un vecteur normal de ce plan.

2. Déterminer une équation du plan (IJG).
Une équation du plan $(IJG)$ est donc de la forme :
$$2x+2y-9z+d=0$$.
Le point $I(1;0;0)$ appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient donc cette équation.
Par conséquent $2 + d = 0 \iff d=-2$.
Une équation du plan $(IJG)$ est donc : $$2x+2y-9z-2=0$$

3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).
On a $B(6;0;0)$ et $F(6;0;2)$.
Par conséquent $\vec{BF}\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$.
Ainsi une représentation paramétrique de la droite $(BF)$ est :
$$\begin{cases}x=6 \\\\y=0\\\\z=2t\end{cases} \qquad t \in \mathbb R$$
Les coordonnées du point $L$ vérifient à la fois l’équation du plan $(IJG)$ et celles de la droite $(BF)$.
Ainsi $2 \times 6-9\times 2t – 2 =0 \iff 10 = 18t \iff t = \dfrac{5}{9}$
$\quad$
On obtient ainsi $L\left(6;0;\dfrac{10}{9}\right)$.

4. Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure (donnée en annexe à rendre avec la copie) . On ne demande pas de justification.

Annexe

Une figure dynamique avec Geogebra :