Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$

1. On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2. Vérifier que $A^2 = A + 2I$.
2. En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme $\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
3. On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[\left\{\begin{array}{l c l} r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\ s_{n+1}&=&2r_n \end{array}\right.\] Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$.
4. Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$.
5. On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$.
6. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
7. En déduire alors, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression des coefficients de la matrice $A^n$.