Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015 - Exercice 2

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Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Nombres complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par: \[z' = z^2 + 4z + 3.\]

1. Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé. Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
2. Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe $\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$. Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
3. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels.
4. Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.