Baccalauréat S Métropole 22 juin 2015 - Exercice 2

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Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

Géométrie

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points A\((0~;~-1~;~5)\), B\((2~;~-1~;~5)\), C\((11~;~0~;~1)\), D\((11~;~4~;~4)\).
Un point \(M\) se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde. Un point \(N\) se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde. À l'instant \(t = 0\) le point \(M\) est en A et le point \(N\) est en C. On note \(M_t\) et \(N_t\) les positions des points \(M\) et \(N\) au bout de \(t\) secondes, \(t\) désignant un nombre réel positif. On admet que \(M_t\) et \(N_t\), ont pour coordonnées : \(M_t(t~;~-1~;~5)\) et \(N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)\).
Les questions \(1\) et \(2\) sont indépendantes.

1. 1. La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
   2. La droite (CD) se trouve dans un plan \(\mathcal{P}\) parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan \(\mathcal{P}\).
   3. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan \(\mathcal{P}\), coupe ce plan au point E\((11~;~-1~;~5)\).
   4. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
2. 1. Montrer que \(M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138\).
   2. À quel instant \(t\) la longueur \(M_tN_t\) est-elle minimale?