Baccalauréat S Métropole 22 juin 2015 - Correction Exercice 3

Page 6 sur 10: Correction Exercice 3

Correction de l'exercice 3 (5 points)

 

Nombres complexes

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

 

1. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) : \[z^2 -8z+64 = 0\]
\(\Delta = -192<0\)
Il y a donc deux solutions complexes conjuguées:
\(z_1 = \dfrac{8 -8\text{i}\sqrt{3}}{2} = 4 – 4\text{i}\sqrt{3}\) et \(z_2 = \overline{z_1} = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}\).
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) .
2. On considère les points \(A, B\) et \(C\) d'affixes respectives \(a=4 + 4\text{i}\sqrt 3, b= 4 - 4\text{i}\sqrt 3\) et \(c = 8\text{i}\).
   1. Calculer le module et un argument du nombre \(a\).
   \(|a| = \sqrt{4^2 + 4^2 \times 3} =8\).
   Ainsi \(a = 8 \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}\right) \).
   Par conséquent un argument de \(a\) est \(\dfrac{\pi}{3}\).
   
   2. Donner la forme exponentielle des nombres \(a\) et \(b\).
   \(a = 8\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}}\) et \(b = \overline{a} = 8\text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}\)
   
   3. Montrer que les points \(A, B\) et \(C\) sont sur un même cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) dont on déterminera le rayon.
   \(|a|=|b|=|c| = 8\).
   Par conséquent les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(8\).
   
   4. Placer les points \(A, B\) et \(C\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) .
   
   Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2.d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
3. On considère les points \(A', B'\) et \(C '\) d'affixes respectives \(a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, b' = b \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\) et \(c'=c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\).
   1. Montrer que \(b'= 8\) .
   \(b’=b\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}}\) \( = 8\text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}} = 8\).
   
   2. Calculer le module et un argument du nombre \(a '\).
   \(a’ = a\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}} \) \(=8\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}}\) \(=8\text{e}^{2\text{i} \frac{\pi}{3}}\)
   Par conséquent \(|a’| = 8\) et un argument de \(a’\) est \(\dfrac{2\pi}{3}\).
   Pour la suite on admet que \(a'=-4 + 4\text{i}\sqrt 3\) et \(c'= - 4\sqrt 3+ 4\text{i}\) .
4. On admet que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives \(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \([MN]\) a pour affixe \(\dfrac{m+n}{2}\) et longueur \( MN\) est égale à \(|n - m|\).
   1. On note \(r, s\) et \(t\) les affixes des milieux respectifs \(R, S\) et \(T\) des segments \([A' B], [B' C] \) et \([C'A]\).
      Calculer \(r\) et \(s\) . On admet que \(t= 2-2\sqrt 3 + \text{i}\left ( 2+2\sqrt 3\right )\)
   \(r=\dfrac{-4+4\text{i}\sqrt{3}+4-4\text{i}\sqrt{3}}{2} = 0\)
   \(\quad\)
   \(s=\dfrac{8 + 8\text{i}}{2} = 4 + 4\text{i}\)
   
   2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle \(RST\) ? Justifier ce résultat.
   Il semble que \(RST\) soit équilatéral.
   On a
   \[\begin{array}{rl} RS &= |s-r| \\ & = |4 + 4\text{i}| \\ &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \end{array}\]
   \(\quad\)
   \[\begin{array}{rl} ST &= |t-s| \\ &= \left|-2 – 2\sqrt{3} + \text{i}\left(-2 + 2\sqrt{3}\right)\right| \\ &= \sqrt{\left(-2 – 2\sqrt{3}\right)^2 + \left(-2 + 2\sqrt{3}\right)^2 }\\ &= \sqrt{4 + 12 + 8\sqrt{3} + 4 + 12 -8\sqrt{3}}\\ & =\sqrt{32} \\ & = 4\sqrt{2} \end{array}\]
   \(\quad\)
   \[\begin{array}{rl} RT &=|t – r| \\ & = \left|2 – 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)\right| \\ &=\sqrt{\left(2 – 2\sqrt{3}\right)^2 + \left(2 + 2\sqrt{3}\right)^2 }\\ &= \sqrt{4 + 12 – 8\sqrt{3} + 4 + 12 8\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{32}\\ & = 4\sqrt{2}
   \end{array}\]
   Par conséquent \(RS = RT = ST\).
   Le triangle \(RST\) est donc équilatéral.