Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016

 

$$ \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}} \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\ic}{\text{i}} \newcommand{\e}{\text{e}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat} \DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg} \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![} \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} \newcommand{\GR}{\mathbb{R}} $$

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A


Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées. Parmi les argentées 60% représentent le château de Blois, 30% le château de Langeais, les autres le château de Saumur. Parmi les dorées 40% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais. On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

  • $A$ l'évènement « la médaille tirée est argentée » ;
  • $D$ l'évènement « la médaille tirée est dorée » ;
  • $B$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Blois » ;
  • $L$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Langeais » ;
  • $S$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Saumur ».

 

  1. Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.
    1. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.
    2. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$.
    3. Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?
  2. Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée.

 

Partie B


Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes. On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

  1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$. On note $C$ l'évènement « la médaille est conforme ». Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
  2. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.
    1. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
    2. Sachant que cette machine produit 6% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A


Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées. Parmi les argentées 60% représentent le château de Blois, 30% le château de Langeais, les autres le château de Saumur. Parmi les dorées 40% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais. On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

  • $A$ l'évènement « la médaille tirée est argentée » ;
  • $D$ l'évènement « la médaille tirée est dorée » ;
  • $B$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Blois » ;
  • $L$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Langeais » ;
  • $S$ l'évènement « la médaille tirée représente le château de Saumur ».

 

  1. Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.
    1. Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.
    2. La situation peut-être modélisée par cet arbre pondéré.

      bac S - nouvelle calédonie - mars 2016 -ex1

      On veut calculer $p(A\cap L)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{40}$
      $\quad$
    3. Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$.
    4. D’après la formule des probabilités totales on a :
      $\begin{align*}
      p(L)&=p(A\cap L)+p(D\cap L) \\
      &=\dfrac{3}{40}+\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{5} \\
      &= \dfrac{21}{40}
      \end{align*}$
      $\quad$
    5. Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?
    6. On veut calculer $p_L(D)=\dfrac{p(L\cap D)}{p(L)}$ $=\dfrac{\dfrac{9}{20}}{\dfrac{21}{40}}$ $=\dfrac{6}{7}$
      $\quad$
  2. On veut calculer $p_S(A)$.
    Les médailles représentant le château de Saumur sont exclusivement argentées. Donc $p_S(A)=1$.
    $\quad$
  • Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée.
  •  

    Partie B


    Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes. On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

    1. Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$. On note $C$ l'évènement « la médaille est conforme ». Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
    2. $P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,904$.
      Donc $p(C)=1-P(9,9 \le X \le 10,1) \approx 0,096$.
      $\quad$ En vidéo !
    3. La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.
      1. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
      2. La varaible aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
      3. Sachant que cette machine produit 6% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.
      4. $6\%$ des pièces ne sont pas conformes. Par conséquent $94\%$ des pièces le sont.
        Donc :
        $\begin{align*} P(9,9 \le Y \le 10,1) = 0,94
        &\Leftrightarrow P(-0,1 \le Y -10 \le 0,1)=0,94 \\
        &\Leftrightarrow P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le \dfrac{Y-10}{\sigma} \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
        &\Leftrightarrow P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma} \le Z \le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,94\\
        &\Leftrightarrow 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right)-1 = 0,94 \\
        &\Leftrightarrow 2P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 1,94 \\
        &\Leftrightarrow P\left(Z\le \dfrac{0,1}{\sigma}\right) = 0,97 \\
        \end{align*}$
        A l’aide de la calculatrice on trouve que $\dfrac{0,1}{\sigma}\approx 1,881$ et donc $\sigma \approx 0,053$.
        $\quad$

    Exercice 2 5 points


    Commun à tous les candidats


    On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [$0~;~16$] par \[f(x) = \ln(x + 1)\quad \text{et}\quad g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x).\] Dans un repère du plan $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$. Ces courbes sont données en annexe 1 . Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.

     Annexe 1BacS NC Mars 2016

    Correction de l'exercice 2 (3 points)


    Commun à tous les candidats

    $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[0;16]$ en tant que composée et somme de fonction continues sur cet intervalle.

    Pour tout réel $x$, $1-\cos x \ge 0$ donc $f(x) \le g(x)$. et $f(x)=g(x) \Leftrightarrow x=2k\pi $ où $k\in \mathbb Z$.

    Par conséquent l’abscisse de $A$ est $2\pi$ et celle de $B$ est $4\pi$.

    Il s’agit alors de calculer l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C}_g$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=2\pi$ dans un premier temps et $x=2\pi$^et $x=4\pi$.

    On veut donc comparer $\displaystyle I=\int_0^{2\pi} \left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$ et $\displaystyle I=\int_{2\pi}^{4\pi} \left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$.

    Or $g(x)-f(x)=1-\cos x$.

    Donc

    $\begin{align*} I&=\int_0^{2\pi} \left(1-\cos x\right)\mathrm{d}x \\
    &=\left[x-\sin x\right]_0^{2\pi} \\
    &= 2\pi
    \end{align*}$

    $\begin{align*} J&=\int_{2\pi}^{4\pi} \left(1-\cos x\right)\mathrm{d}x \\
    &=\left[x-\sin x\right]_{2\pi}^{4\pi} \\
    &= 4\pi-2\pi \\
    &=2\pi
    \end{align*}$

    $\quad$

    En vidéo !

     


    Exercice 3 6 points


    Géométrie


    Dans le repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation \[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

    1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A($1~;~1~;~1$) appartient-il au plan $P_m$ ?
    2. Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique \[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12 - 2t\\ y &=& 9 - 2t\\ z &=&t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb R\]
      1. Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
      2. Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
      3. Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
    3. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que \[- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\] On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
      1. Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
      2. Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si \[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
      3. On donne l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & m \text{ et } m' \text{ entiers relatifs} \\ \text{ Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de -10 à 10 }\\ &\hspace{0,5cm} \text{ Pour } m' \text{ allant de -10 à 10 } \\ &\hspace{1cm} \text{ Si } \left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0\\ &\hspace{1,5cm}\text{Alors Afficher }\left(m~;~m'\right) \\ &\hspace{0,5cm} \\ &\hspace{0,5cm}\text{ Fin du Pour }\\ &\text{ Fin du Pour}\\ \hline \end{array}$$ Quel est le rôle de cet algorithme?
      4. Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$. Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.

    Correction de l'exercice 3 (5 points)


    Commun à tous les candidats


    Dans le repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation \[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

    1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A($1~;~1~;~1$) appartient-il au plan $P_m$ ?
    2. Si le point $A(1;1;1)$ appartient au plan $P_m$ alors ses coordonnées vérifient l’équation du plan :
      $\dfrac{1}{4}m^2+m-1+\dfrac{1}{2}m-3 = 0$
      $\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}m^2+\dfrac{3}{2}m-4=0$
      $\Leftrightarrow m^2 + 6m-16=0$
      $\Delta = 36+4\times 16 = 100>0$
      Il y a donc deux racines réelles $m_1 = \dfrac{-6-\sqrt{100}}{2} = -8$ et $m_2=\dfrac{-6+\sqrt{100}}{2}=2$.
      Le point $A$ appartient donc au plan $P_m$ si $m=-8$ ou si $m=2$.
      $\quad$
    3. Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique \[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12 - 2t\\ y &=& 9 - 2t\\ z &=&t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb R\]
    4. Une équation de $P_1$ est $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$
      Une équation de $P_{-4}$ est $4x-5y-2z-3=0$
      $\quad$
      Regardons si la droite $(d)$ est bien incluse dans chacun des deux plans.
      On remplace $x$, $y$ et $z$ par les équations de $(d)$ dans chacune des deux équations.
      Pour $P_1$ : $\dfrac{12-2t}{4}+\dfrac{1}{2}t-3 = 3-\dfrac{1}{2}t+\dfrac{1}{2}t-3=0$
      Pour $P_{-4}$ : $4(12-2t)-5(9-2t)-2t-3=48-8t-45+10t-2t-3=0$.
      La droite $(d)$ est donc incluse dans chacun des deux plans.
      $\quad$
      Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
      Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
      Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les plans sont donc sécants selon la droite $(d)$.
      $\quad$
      1. Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
      2. Une équation de $P_0$ est $-y-3=0$ soit $y=-3$.
        Cherchons l’ensemble des points de $(d)$ tels que $y=-3$.
        On résout l’équation $9-2t=-3 \Leftrightarrow 12=2t \Leftrightarrow t=6$.
        La droite $(d)$ et le plan $P_0$ ont donc le point $B(0;-3;6)$ comme intersection.
        $\quad$
      3. Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
      4. Regardons si les coordonnées de $B$ vérifient l’équation de $P_m$ pour tout $m$.
        $\dfrac{1}{4}m^2 \times 0 – 3(m-1)+\dfrac{6m}{2}-3 = -3m+3+3m-3=0$
        Donc $B$ appartient bien à $P_m$ pour tout réel $m$.
        $\quad$
      5. Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
      6. Supposons qu’il existe un autre point $C$ commun à tous les plans $P_m$.
        La droite $(d)$ étant l’intersection des plans $P_1$ et $P_{-4}$ cela signifie que ce point $C$ appartient à $(d)$.
        Or la droite $(d)$ et le plan $P_0$ n’ont que le point $B$ en commun.
        Ainsi le point $B$ est l’unique point commun à tous les plans $P_m$.
        $\quad$
    5. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que \[- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\] On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
      1. Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
      2. On sait que :
        – Un vecteur normal à $P_1$ est $\overrightarrow{n_1}\left(\dfrac{1}{4};0;\dfrac{1}{2}\right)$.
        – Un vecteur normal à $P_{-4}$ est $\overrightarrow{n_{-4}}\left(4;-5;-2\right)$.
        Or $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_{-4}} = 1 + 0-1 = 0$.
        Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires.
        $\quad$
      3. Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si \[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
      4. Un vecteur normal à $P_m$ est $\overrightarrow{n_m}\left(\dfrac{1}{4}m^2;m-1;\dfrac{m}{2}\right)$.
        b. Un vecteur normal à $P_{m’}$ est $\overrightarrow{n_{m’}}\left(\dfrac{1}{4}m’^2;m’-1;\dfrac{m’}{2}\right)$
        $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=0$
        Or $\overrightarrow{n_m}.\overrightarrow{n_{m’}}=\dfrac{\left(mm’\right)^2}{16}+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4}$.
        Par conséquent, $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $\left(\dfrac{mm’}{4}\right)^2+(m-1)\left(m’-1\right)+\dfrac{mm’}{4} = 0$.
        $\quad$
        Une autre méthode consiste à résoudre le système de 2 équations à 3 inconnues formé par les équations des plans $P_1$ et $P_{-4}$
        En vidéo !
      5. On donne l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & m \text{ et } m' \text{ entiers relatifs} \\ \text{ Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de -10 à 10 }\\ &\hspace{0,5cm} \text{ Pour } m' \text{ allant de -10 à 10 } \\ &\hspace{1cm} \text{ Si } \left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0\\ &\hspace{1,5cm}\text{Alors Afficher }\left(m~;~m'\right) \\ &\hspace{0,5cm}\\ &\hspace{0,5cm}\text{ Fin du Pour }\\ &\text{ Fin du Pour}\\ \hline \end{array}$$ Quel est le rôle de cet algorithme?
      6. Cet algorithme fournit tous les couples $\left(m;m’\right)$ d’entiers appartenant à $[-10;10]$ pour lesquels $P_m$ et $P_{m’}$ sont perpendiculaires.
        Remarque : Il fallait voir que la condition dans le test SI est équivalente à la condition vue en 4.b. (il suffit de diviser par $16$).
        $\quad$
      7. Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$. Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
      8. Si un couple $\left(m;m’\right)$ convient alors le couple $\left(m’;m\right)$ convient également.
        Les six couples d’entiers sont donc $(-4;1)$, $(1;-4)$, $(0;1)$, $(1;0)$, $(5;-4)$ et $(-4;5)$.
        Ils apparaîtront dans l’ordre suivant : $(-4;1)$, $(-4;5)$, $(0;1)$, $(1;-4)$, $(1;0)$ et $(5;-4)$.
        $\quad$

     


    Exercice 4 5 points


    Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


    On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par \[z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\] On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé$\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

      1. Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
      2. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
      1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
      2. Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
    1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
      1. Interpréter géométriquement $d_n$.
      2. Calculer $d_0$.
      3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
      4. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$, \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
      1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]
      2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
      3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
      4. Justifier cette construction.

     


    Correction de l'exercice 4 5 points


    Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


    On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par \[z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\] On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé$\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

      1. Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
      2. $$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}} &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+\text{i} \sin \dfrac{\pi}{6}\right) \\\\
        &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}\right) \\\\
        &=1+\dfrac{\text{i}}{\sqrt{3}} \\\\
        &=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}
        \end{align*}$$
        $\quad$
      3. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
      4. $z_1 = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times 1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}}$
        $z_2 = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}}\right)^2 =\dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$
        $\quad$
      1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
      2. Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
        Initialisation : Si $n=0$ alors $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^0\text{e}^{\text{i}\times 0}=1$.
        La propriété est donc vraie au rang $0$.
        $\quad$
        Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}}$
        $\begin{align*} z_{n+1} &=\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
        &= \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}} \\\\
        &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1}\text{e}^{\text{i} (n+1)\frac{\pi}{6}}
        \end{align*}$
        La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
        $\quad$
        Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
        Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}}$
        $\quad$
      3. Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
      4. $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si, et seulement si, $A_n$ est sur l’axe des réels
        si, et seulement si, $z_n$ est réel
        si, et seulement si, $n\dfrac{\pi}{6} =k\pi$ avec $k\in \mathbb Z$
        si, et seulement si, $n$ est un multiple de $6$
        $\quad$
    1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
      1. Interpréter géométriquement $d_n$.
      2. $d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right| = A_nA_{n+1}$
        $d_n$ est donc la distance séparant les points $A_{n+1}$ et $A_n$.
        $\quad$
      3. Calculer $d_0$.
      4. $d_0=\left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1\right|$ $=\left|\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right|$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
        $\quad$
      5. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
      6. Pour tout entier naturel $n$ non nul,
        $\begin{align*} z_{n+2}-z_{n+1} &= \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_{n+1}-\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
        &=\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right)
        \end{align*}$
        $\quad$
      7. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$, \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
      8. Par conséquent :
        $\begin{align*} d_{n+1} &=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right| \\\\
        &=\left|\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right) \right| \\\\
        &= \left|\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\right| \times \left|z_{n+1}-z_{n}\right| \\\\
        &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}d_n
        \end{align*}$
        La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ et de premier terme $d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
        Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$.
        $\quad$
      1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]
      2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
        $\begin{align*} \left|z_n\right|^2+d_n^2 &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \\\\
        &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \\\\
        &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \dfrac{4}{3} \\\\
        &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \\\\
        &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n+2} \\\\
        &=\left|z_{n+1}\right|^2
        \end{align*}$
        $\quad$
      3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
      4. Dans le triangle $OA_nA_{n+1}$ on a :
        $\begin{align*} OA_{n+1}^2 &= \left|z_{n+1}\right|^2 \\
        &= \left|z_n\right|^2+d_n^2 \\
        &=OA_n^2+A_nA_{n+1}^2
        \end{align*}$
        D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
        $\quad$
      5. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
      6. Justifier cette construction.
      7. A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $[AO]$. Cela nous permet de tracer la droite perpendiculaire à $\left[OA_4\right]$ passant par $A_4$.
        A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $\left[OA_6\right]$. On obtient le milieu $I$ de $\left[OA_6\right]$.
        On trace le demi-cercle de diamètre $\left[OA_6\right]$ situé au-dessus de l’axe des abscisses.
        Les triangles $OA_5A_4$ et $OA_5A_6$ étant respectivement rectangles en $A_4$ et $A_5$, le point $A_5$ appartient à la médiatrice de $[AO]$ et au demi-cercle.
        $\quad$

     


    Spécialité 5 points


    Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

    Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

    Partie A


    Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array}$$ Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine). Exemple : M correspond à $x = 12$ $7 \times 12 + 5 = 89$ Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L, donc la lettre M est codée par la lettre L.

    1. Coder la lettre L.
      1. Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k \equiv 7x \:\: [26]$ alors $15k \equiv x\:\:[26]$.
      2. Démontrer la réciproque de l'implication précédente.
      3. En déduire que $y \equiv 7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv 15y + 3\:\:[26]$.
    2. À l'aide de la question précédente décoder la lettre F.

     

    Partie B


    On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$.

    Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n - \dfrac{5}{6}$.

    On admet pour la suite du problème que pour tout entier naturel $n,$ $ b_n = \left(b_0 + \dfrac{3}{14}\right) \times 15^n - \dfrac{3}{14}$.

    Partie C


    Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les 312 couples de coefficients possibles).

    Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A.

    Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique « 2» fois le chiffrement affine à la lettre M (cela donne E), « 2 » fois le chiffrement à la lettre A, « 5 » fois le chiffrement à la lettre T et enfin « 6 » fois le chiffrement à la lettre H.

    Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6.

    Décoder la lettre Q dans le mot IYYQ.

     


    Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


    Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

    Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

    Partie A


    Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array}$$ Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine). Exemple : M correspond à $x = 12$ $7 \times 12 + 5 = 89$ Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L, donc la lettre M est codée par la lettre L.

    1. Coder la lettre L.
    2. $L$ est associé au nombre $11$.
      $7\times 11+5 = 82 \equiv 4\quad[26]$
      $4$ correspond à la lettre $E$.
      Ainsi $L$ est codé en $E$.
      $\quad$
      1. Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k \equiv 7x \:\: [26]$ alors $15k \equiv x\:\:[26]$.
      2. Si $k\equiv 7x \quad[26]$ alors $15k \equiv 105x \quad [26] \equiv x \quad [26]$.
        $\quad$
        b. Si $15k\equiv x \quad [26]$ alors $105k \equiv 7x \quad [26]$ soit $k\equiv 7x \quad [26]$.
        $\quad$
      3. Démontrer la réciproque de l'implication précédente.
      4. $y\equiv 7x+5 \quad [26]$
        équivaut à $7x \equiv y-5 \quad [26]$
        équivaut à, d’après la question 2.a. $x \equiv 15(y-5) \quad [26]$
        équivaut à $x \equiv 15y – 75 \quad [26]$
        équivaut à $x \equiv 15y +3 \quad [26]$
        $\quad$
      5. En déduire que $y \equiv 7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv 15y + 3\:\:[26]$.
      6. La lettre $E$ est associée au nombre $4$.
        Donc $y=4$ et $x \equiv 15 \times 4+3 \quad [26] \equiv 63 \quad [26]$ $\equiv 11 \quad [26]$.
        Ainsi $E$ se décode en $L$.
        $\quad$
    3. À l'aide de la question précédente décoder la lettre F.

     

    Partie B


    On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$.

    Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n - \dfrac{5}{6}$.

    On admet pour la suite du problème que pour tout entier naturel $n,$ $ b_n = \left(b_0 + \dfrac{3}{14}\right) \times 15^n - \dfrac{3}{14}$.

    Montrons le résultat par récurrence.

    Initialisation : Si $n=0$ alors $\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^0-\dfrac{5}{6}$ $ = a_0+\dfrac{5}{6}-\dfrac{5}{6}$ $=a_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.

    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$

    Donc :

    $$\begin{align*} a_{n+1} &=7a_n+5 \\\\
    &=7 \left(\left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}\right)+5 \\\\
    &= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{35}{6}+5 \\\\
    &= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^{n+1}-\dfrac{5}{6}
    \end{align*}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n= \left(a_0+\dfrac{5}{6}\right) \times 7^n-\dfrac{5}{6}$.

    Partie C


    Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les 312 couples de coefficients possibles).

    Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A.

    Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique « 2» fois le chiffrement affine à la lettre M (cela donne E), « 2 » fois le chiffrement à la lettre A, « 5 » fois le chiffrement à la lettre T et enfin « 6 » fois le chiffrement à la lettre H.

    Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6.

    Décoder la lettre Q dans le mot IYYQ.
    Première méthode

    On cherche une lettre qui codée 6 fois de suite donne la lettre Q. Autrement dit, il suffit de décoder 6 fois de suite la lettre Q pour obtenir le résultat demandé. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{lettre} & y & 15y+3 & \text{reste } x & \text{lettre} \\ \hline Q & 16 & 243 & 9 & J \\ \hline J & 9 & 138 & 8 & I \\ \hline I & 8 & 123 & 19 & T \\ \hline T & 19 & 288 & 2 & C \\ \hline C & 2 & 33 & 7 & H \\ \hline H & 7 & 108 & 4 & E \\ \hline \end{array} $$ Donc la lettre Q se décode en E.

    Deuxième méthode

    On peut utiliser les résultats de la partie B. On doit appliquer 6 fois la fonction $x \longmapsto 15x+3$ successivement au nombre 16 (correspondant à Q), puis à son image, puis à l'image de l'image, etc. On cherche donc, avec les notations de la partie B, le nombre $b_6$ sachant que $b_0=16$. $b_6= \left ( 16 +\dfrac{3}{14}\right ) \times 15^6 - \dfrac{3}{14} = 184690848 $ Le reste de la division de 184690848 par 26 est 4 qui correspond bien à E.

    Remarque : Le mot IYYQ se décode en CODE par le processus détaillé dans la partie C.

     

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