Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016 - Exercice 3

Page 5 sur 10: Exercice 3

Exercice 3 6 points

Géométrie

Dans le repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$ de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation \[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

1. Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A($1~;~1~;~1$) appartient-il au plan $P_m$ ?
2. Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique \[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12 - 2t\\ y &=& 9 - 2t\\ z &=&t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \mathbb R\]
3. 1. Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées.
   2. Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
   3. Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que \[- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\] On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
   1. Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
   2. Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si \[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
   3. On donne l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & m \text{ et } m' \text{ entiers relatifs} \\ \text{ Traitement :}& \text{ Pour } m \text{ allant de -10 à 10 }\\ &\hspace{0,5cm} \text{ Pour } m' \text{ allant de -10 à 10 } \\ &\hspace{1cm} \text{ Si } \left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0\\ &\hspace{1,5cm}\text{Alors Afficher }\left(m~;~m'\right) \\ &\hspace{0,5cm} \\ &\hspace{0,5cm}\text{ Fin du Pour }\\ &\text{ Fin du Pour}\\ \hline \end{array}$$ Quel est le rôle de cet algorithme?
   4. Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$. Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.