Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (7 points)


Commun à tous les candidats

 


Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à 6,5 mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est très peu calcaire.
Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A


L'eau minérale provient de deux sources, notées «source A »  et «source B ». La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A soit très peu calcaire est $0,17$. La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B soit très peu calcaire est $0,10$.
La source A fournit 70% de la production quotidienne totale des bouteilles d'eau et la source B le reste de cette production.
On prélève au hasard une bouteille d'eau dans la production totale de la journée. On considère les évènements suivants : $A$ :«La bouteille d'eau provient de la source A » $B$ :«La bouteille d'eau provient de la source B » $S$ :«L'eau contenue dans la bouteille d'eau est très peu calcaire ».

  1. Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap S$.
  2. On peut schématiser la situation à l’aide de cet arbre pondéré.

    Bac S-nouvelle calédonie-nov2015-ex1

    Ainsi, $p(A\cap S)=0,7\times 0,17 = 0,119$.
  3. Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ vaut $0,149$.
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S) &=p(A\cap S)+p(B\cap S) \\
    &= 0,7 \times 0,17 + 0,3 \times 0,1 \\
    &= 0,149
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu'elle est très peu calcaire.
  6. On veut calculer $p_S(A) = \dfrac{p(A\cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,119}{0,149} = \dfrac{119}{149} \approx 0,799$.
    $\quad$
  7. Le lendemain d'une forte pluie, l'usine prélève un échantillon de 1000 bouteilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, $211$ contiennent de l'eau très peu calcaire. Donner un intervalle permettant d'estimer au seuil de 95 % la proportion de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire sur l'ensemble de la production de la source A après cette intempérie.
  8. On a $n=1~000$ et la fréquence observée est $f=\dfrac{211}{1~000}=0,211$.
    Par conséquent $n=1~000\ge 30$, $nf = 211 \ge 5$ et $n(1-f)=789 \ge 5$.
    Les conditions pour déterminer un intervalle de confiance sont vérifiées.
    Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,211-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,211+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,179;0,243]
    \end{align*}$
    $\quad$

 

Partie B


On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A, associe le taux de calcium de l'eau qu'elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d'écart-type $1,6$. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B, associe le taux de calcium qu'elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d'écart-type $\sigma$.

  1. Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d'une journée de la source A soit compris entre $6,4$ mg et $9,6$ mg.
  2. 2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

  3. Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$.
  4. On a $P(X \le 6,5) = 0,5 – P(6,5 \le X \le 8) \approx 0,159$

    2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
  5. Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B contienne de l'eau très peu calcaire est $0,1$.
  6. On veut que :
    $\begin{align*} P(Y \le 6,5) = 0,1 &\Leftrightarrow P(Y – 9 \le -2,5) = 0,1 \\\\
    &\Leftrightarrow P\left(\dfrac{Y-9}{\sigma}\le -\dfrac{2,5}{\sigma}\right) = 0,1
    \end{align*}$
    Or la variable aléatoire $Y’=\dfrac{Y-9}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    A l’aide de la calculatrice, on trouve que $P(Y’\le a)=0,1$ pour $a\approx -1,282$
    Par conséquent $-\dfrac{2,5}{\sigma} \approx -1,282 \Leftrightarrow \sigma \approx \dfrac{2,5}{1,282} \Leftrightarrow \sigma \approx 1,95$.
    $\quad$

 

Partie C


Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan. La forme de ces étiquettes est délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = a\cos x$ avec $x \in \left[- \frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right]$ et $a$ un réel strictement positif.
Un disque situé à l'intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées $\left(0~;~\frac{a}{2}\right)$ et de rayon $\frac{a}{2}$. On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe $\mathcal{C}$ pour des valeurs de $a$ inférieures à $1,4$.

  1. Justifier que l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = - \frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{\pi}{2}$, et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à $2a$ unités d'aire.
  2. On appelle $\mathscr{A}$ l’aire cherchée.
    La fonction $x \mapsto a\cos x$ est continue et positive sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \mathscr{A} &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a\cos x \mathrm{d}x \\\\
    &= \left[a\sin x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\\\
    &=a-(-a) \\\\
    &=2a
    \end{align*}$
  3. Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l'aire du disque soit égale à l'aire de la surface grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel $a$ pour respecter cette contrainte ?
  4. Le rayon du disque est $\dfrac{a}{2}$. L’aire du disque est donc de $\pi\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = \dfrac{a^2\pi}{4}$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} 2a-\dfrac{a^2\pi}{4} = \dfrac{a^2\pi}{4} &\Leftrightarrow 2a -\dfrac{a^2 \pi}{2} = 0 \\\\
    &\Leftrightarrow \dfrac{4a-a^2\pi}{2}=0 \\\\
    &\Leftrightarrow \dfrac{a\left(4-a\pi\right)}{2} = 0
    \end{align*}$
    $a$ étant strictement positif, l’équation précédente revient à résoudre $4-a\pi=0$ soit $a=\dfrac{4}{\pi}$.

Exercice 2
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