Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015 - Correction Exercice 2

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Commun à tous les candidats

Correction de l'exercice 2 (3 points)


Commun à tous les candidats


Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ par \[f_a(x) = \text{e}^{x - a} - 2x + \text{e}^{a}.\]

  1. Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.
  2. La fonction $f_a$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
    Pour tout réel $x$ on a : $f'(x)=\text{e}^{x-a}-2$.
    Or $\text{e}^{x-a}-2 \ge 0 \Leftrightarrow \text{e}^{x-a}=2 \Leftrightarrow x-a = \ln 2 \Leftrightarrow x=a+\ln 2$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;a+\ln 2]$ et strictement croissante sur $[a+\ln 2;+\infty[$.
    La fonction $f_a$ possède donc un minimum en $a+\ln 2$.
    $\quad$
  3. Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
  4. $f_a(a+\ln 2)=\text{e}^{\ln 2} – 2(a+\ln 2) + \text{e}^{a }= 2 – 2a – 2\ln 2 +\text{e}^{a }$.
    On appelle $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g(a) = 2-2a-2\ln 2+\text{e}^a$.
    Cette fonction est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
    $g'(a)=-2+\text{e}^{a }$.
    Or $g'(a) = 0 \Leftrightarrow \text{e}^{a } = 2 \Leftrightarrow a = \ln 2$.
    $g'(a) < 0$ si $a < \ln 2$ et $g'(a) >0$ si $a > \ln 2$.
    Ainsi le plus petit minimum est atteint en $\ln 2$ et vaut $g(\ln 2) = 2 -4\ln 2 + 2 = 4-4\ln 2$.
Exercice 3
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