Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ $$\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}$$

1. Calculer $d_1$ et $a_1$.
2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur. L'algorithme suivant est proposé : $$\begin{array} {|l X|}\hline \text{Variables} :& n \text{ et } k \text{sont des entiers naturels}\\ &D \text{ et } A \text{sont des réels }\\ &\\ \text{Initialisation} :& D \text{prend la valeur } 300\\ &A \text{prend la valeur } 450\\ &\text{Saisir la valeur de } n\\ &\\ \text{Traitement} :& \text{Pour } k \text{variant de 1 à } n\\ &\hspace{0.8cm}D \text{ prend la valeur } \dfrac{D}{2} + 100 \\ &\hspace{0.8cm}A \text{ prend la valeur } \dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70\\ &\text{Fin pour }\\ &\\ \text{Sortie} :& \text{ Afficher } D\\ &\text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$
   1. Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1. ?
   2. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats souhaités.
3. 1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
   2. En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
   3. La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
4. On admet que pour tout entier naturel $n$, \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]
   1. Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
   2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$.
   3. En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$.
   4. Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.