Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un organisme propose un apprentissage de langues étrangères en ligne. Deux niveaux sont présentés : débutant ou avancé. Au début de chaque mois, un internaute peut s'inscrire, se désinscrire ou changer de niveau. On souhaite étudier l'évolution sur le long terme, de la fréquentation du site à partir d'un mois noté $0$. Des relevés de la fréquentation du site ont conduit aux observations suivantes :

• Au début du mois $0$, il y avait $300$ internautes au niveau débutant et $450$ au niveau avancé.
• Chaque mois, la moitié des débutants passe au niveau avancé, l'autre moitié reste au niveau débutant et la moitié des avancés ayant terminé leur formation, se désinscrit du site.
• Chaque mois, $100$ nouveaux internautes s'inscrivent en débutant et $70$ en avancé.

On modélise cette situation par deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$. Pour tour entier naturel $n,\: d_n$ et $a_n$ sont respectivement des approximations du nombre de débutants et du nombre d'avancés au début du mois $n$. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}d_n\\a_n\end{pmatrix}$. On pose $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$ \[\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100 \\ a_{n+1}&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}\right.\]

1. 1. Justifier l'égalité $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70$ dans le contexte de l'exercice.
   2. Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que pour tout entier naturel $n$, \[U_{n+1} = AU_n + B.\]
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a \[A^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2 + nT \right)\quad \text{où}\:\: T = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \text{et} \:\: I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]
3. 1. Déterminer la matrice $C$ qui vérifie l'égalité $C = AC + B$.
   2. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $V_n = U_n - \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[V_{n+1} = AV_n.\]
   3. On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $V_n = A^nV_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[U_n = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 200\\ 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340 \end{pmatrix} \]
4. 1. On admet que pour tout entier $n \geqslant 4$, $2^n \geqslant n^2$. En déduire que pour tout entier $n \geqslant 4$, \[0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}.\]
   2. En utilisant les questions précédentes, que peut-on prévoir pour l'évolution de la fréquentation du site sur le long terme ?