Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - Correction Exercice 5

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Correction de l'exercice 5 (3 points)

Commun à tous les candidats

On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} z_0 & =& 0\\ z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5 \end{array}\right.\] Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$. On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$.

1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$ .
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n$.
   Soit $n$ un entier naturel.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=z_{n+1}-4-2\text{i} \\
   &=\dfrac{1}{2}\text{i} \times z_n+5-4-2\text{i} \\
   &=\dfrac{1}{2}\text{i} \times \left(u_n+4+2\text{i}\right)+1-2\text{i} \\
   &=\dfrac{1}{2}\text{i} \times u_n +2\text{i}-1+1-2\text{i} \\
   &=\dfrac{1}{2}\text{i} \times u_n
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : \[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]
   Démontrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=z_0-z_A=-4-2\text{i}$
   $\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^0(-4-2\text{i})=-4-2\text{i}$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^n(-4-2\text{i})$
   Alors :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2}\text{i} \times u_n \\
   &=\dfrac{1}{2}\text{i} \times \left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^n(-4-2\text{i}) \\
   &= \left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^{n+1}(-4-2\text{i})
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^n(-4-2\text{i})$.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
$\begin{align*} u_{n+4}&=\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^{n+4}(-4-2\text{i}) \\
&=\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^n \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \times (-4-2\text{i}) \\
&= u_n \times \dfrac{1}{2^4}
\end{align*}$
Or $u_n$ est l’affixe de $\vec{AM_n}$ et $u_{n+4}$ est l’affixe de $\vec{AM_{n+4}}$.
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $A$, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.