Baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

 

Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L'entreprise considère qu'une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm. Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Une étude du fonctionnement des machines a permis d'établir les résultats suivants :

• 96% de la production journalière est vendable.
• La machine A fournit 60% de la production journalière.
• La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98%.

On choisit une bille au hasard dans la production d'un jour donné. On définit les évènements suivants :
$A$ : «la bille a été fabriquée par la machine A » ;
$B$ : «la bille a été fabriquée par la machine B » ; $V$ : «la bille est vendable ».

1. Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A.
On a $P(A)=0,6$ et $P_A(V)=0,98$
Donc $P(A\cap V) = P(A) \times P_A(V)=0,6\times 0,98 = 0,588$.
$\quad$
2. Justifier que $P(B \cap V) = 0,372$ et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu'elle provient de la machine B.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(V)&=P(A\cap V)+P(B\cap V) \\
0,96&=0,588+P(B\cap V)
\end{align*}$
Donc $P(B\cap V)=0,96-0,588=0,372$.
$\quad$
3. Un technicien affirme que 70% des billes non vendables proviennent de la machine B. A-t-il raison ?
On veut calculer $P(_{\overline{V}}(B)=\dfrac{P\left(\overline{V}\cap B\right)}{P\left(\overline{V}\right)}$.
On sait que $P\left(\overline{V}\right) = 1-P(V)=0,04$.
Puisque $P(V\cap B)=0,372$ et $P(B)=0,4$ alors $P_B(V)=\dfrac{P(V\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,372}{0,4}=0,93$.
Ainsi $P_B\left(\overline{V}\right) = 1-0,93=0,07$.
Donc $P\left(\overline{V}\cap B\right)=P_B\left(\overline{V}\right) \times P(B)=0,07\times 0,4=0,028$.
Par conséquent $P(_{\overline{V}}(B)=\dfrac{P\left(\overline{V}\cap B\right)}{P\left(\overline{V}\right)} = \dfrac{0,028}{0,04}=0,7$.
Le technicien a donc raison.
$\quad$

 

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B.

1. Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d'une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma = 0,055$. Vérifier que la probabilité qu'une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près.
On veut calculer $P(0,9\leqslant X \leqslant 1,1) \approx 0,93$

On retrouve bien la valeur de $P_B(V)$ trouvée à la question A.3.
$\quad$

2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

$$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

 

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2. De la même façon, le diamètre d'une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l'aide d'une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma',\: \sigma'$ étant un réel strictement positif. Sachant que $P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1) = 0,98$, déterminer une valeur approchée au millième de $\sigma'$.
On a :
$\begin{align*} P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1)=0,98 &\iff P(-0,1 \leqslant Y-1 \leqslant 0,1)=0,98 \\
&\iff P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma’} \leqslant \dfrac{Y-1}{\sigma’} \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma’}\right)=0,98
\end{align*}$
Or la variable aléatoire $Y’=\dfrac{Y-1}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.
Ainsi :
$\begin{align*} P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma’} \leqslant \dfrac{Y-1}{\sigma’} \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma’}\right)=0,98 &\iff 2P\left(Y’ \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma’}\right)-1=0,98 \\
&\iff 2P\left(Y’ \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma’}\right) = 1,98 \\
&\iff P\left(Y’ \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma’}\right) = 0,99
\end{align*}$
A l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve :
$\dfrac{0,1}{\sigma’} \approx 2,326 \iff \sigma’ \approx 0,043$.
$\quad$

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Partie C

Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d'un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière. Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire.

1. Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes.
   1. On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement $10$ billes noires. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
   On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de billes noires.
   Il y a $40$ tirages aléatoires, indépendants avec remise.
   A chaque tirage, il y a deux issues $N$ « la bille tirée est noire » et $\overline{N}$.
   De plus $P(N)=\dfrac{1}{5}=0,2$ (il y a équiprobabilité des couleurs lors de la teinte).
   Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,2$.
   a. Ainsi $P(X=10)=\displaystyle \binom{40}{10}\times 0,2^{10}\times 0,8^{30}\approx 0,107$.
   $\quad$
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   2. Dans un sachet de $40$ billes, on a compté $12$ billes noires. Ce constat permet-t-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ?
   On a $n=40\geqslant 30$, $p=0,2$ donc $np=8\geqslant 5$ et $n(1-p)=32\geqslant 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est alors :
   $\begin{align*} I_{40}&=\left[0,2-1,96\sqrt{\dfrac{0,2\times 0,8}{40}};0,2+1,96\sqrt{\dfrac{0,2\times 0,8}{40}}\right]\\
   &\approx [0,076;0,324]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{12}{40}=0,3\in I_{40}$.
   Cela ne remet donc pas en cause le réglage de la machine qui teinte les billes.
   $\quad$
2. Si l'entreprise souhaite que la probabilité d'obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99%, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ?
On appelle $X’$ la variable aléatoire comptant le nombre billes noires parmi $n$ boules tirées.
Pour les mêmes raisons qu’à la question C.1.a. $X’$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,2$.
On veut obtenir :
$\begin{align*} P(X’\geqslant 1)\geqslant 0,99 &\iff 1-P(X’=0) \geqslant 0,99 \\
&\iff -P(X’=0) \geqslant -0,01 \\
&\iff P(X’=0) \leqslant 0,01 \\
&\iff 0,8^n \leqslant 0,01 \\
&\iff n\ln(0,8) \leqslant \ln(0,01) \\
&\iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)} \\
&\iff n \geqslant 21
\end{align*}$
Il faut donc que les sachets contiennent au moins $21$ billes pour que la probabilité d’obtenir au moins une bille noire dans le sachet soit supérieure à $0,99$.
$\quad$