Baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016 - Exercice 2

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Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats


Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant :

  • elle doit être située à deux mètres de sa maison;
  • la profondeur maximale doit être de deux mètres;
  • elle doit mesurer cinq mètres de long;
  • elle doit épouser la pente naturelle du terrain.

Cette cuve est schématisée ci-contre. 

La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~2 \text{e}]$ définie par: \[f(x) = x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - x + 2.\] La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé d'unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve. On considère les points A(2 ; 2), I(2 ; 0) et B(2e ; 2).

Partie A


L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve.

  1. Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point I.
  2. On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B, et D le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses.
    1. Déterminer une équation de la droite$\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de D.
    2. On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y = 2, x = 2$ et $x = 2\text{e}$. $S$ peut être encadrée par l'aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ?
    1. Montrer que, sur l'intervalle [2 ;2e], la fonction $G$ définie par \[G(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4}\] est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)$.
    2. En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [2 ; 2e].
    3. Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au m$^3$ près.

 

Partie B


Pour tout réel $x$ compris entre 2 et 2e, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2 ; 2e], \[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]
 

  1. Quel volume d'eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ?
  2. On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B.
    On considère l'algorithme ci-contre. Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher. $$\begin{array}{ |l|c|}\hline \text{Variables} : & a \text{est un réel}\\ & b \text{ est un réel}\\ \text{Traitement :}& a \text{ prend la valeur } 2\\ & b \text{ prend la valeur } 2 e\\ &\text{ Tant que } v(b) - v(a) > 10^{-3} \text{ faire :}\\ &\hspace{0.4cm}\begin{array}{|l} c \text{ prend la valeur } (a+b)/2 \\ \text{Si } v(c) < V/2 , \text{ alors :}\\ \hspace{0.4cm}\begin{array}{|l} a \text{ prend la valeur } c\\ \end{array}\\ \text{ Sinon }\\ \hspace{0.4cm} \begin{array}{|l} b \text{ prend la valeur } c\\ \end{array}\\ \text{Fin Si}\\ \end{array}\\ &\text{Fin Tant que}\\ \text{Sortie :} &\text{Afficher } f(c) \\ \hline \end{array} $$
Correction Exercice 2
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