Baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016 - Exercice 3

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Exercice 3 3 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O. Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d'affixe $z_n = (1 + \text{i})^n$.

1. Écrire le nombre $1 + \text{i}$ sous forme exponentielle.
2. Montrer qu'il existe un entier naturel $n_0$, que l'on précisera, tel que, pour tout entier $n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD.