Baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (3 points)


Commun à tous les candidats


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O. Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d'affixe $z_n = (1 + \text{i})^n$.

  1. Écrire le nombre $1 + \text{i}$ sous forme exponentielle.
  2. $|1+\text{i}|=\sqrt{2}$
    Donc $1+\text{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)=\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4}$.
    $\quad$En vidéo !
  3. Montrer qu'il existe un entier naturel $n_0$, que l'on précisera, tel que, pour tout entier $n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD.
  4. La longueur d’une demi diagonale est donc $4$.
    Si $OM_n > 4$ alors le point $M_n$ est à l’extérieur du carré $ABCD$.
    $\begin{align*} \left|(1+\text{i})^n\right| > 4 &\iff \sqrt{2}^n > 4 \\\\
    &\iff n\ln \sqrt{2} > \ln 4 \\\\
    &\iff n > \dfrac{\ln 4}{\ln \sqrt{2}} \\\\
    &\iff n > \dfrac{2\ln2}{\dfrac{1}{2}\ln 2} \\\\
    &\iff n > 4
    \end{align*}$
    Ainsi si $n>4$ alors le point $M_n$ est à l’extérieur du carré $ABCD$. Donc $n_0=5$ convient.


Exercice 4
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