Baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016 - Exercice 4
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Exercice 4 5 points
On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous.
Le point O est le centre de la base ABCD avec OB $= 1$. On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.
- Justifier que le repère $\left(\text{O}~;~ \vec{\text{OB}},~\vec{\text{OC}},~\vec{\text{OS}}\right)$ est orthonormé. Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère $\left(\text{O}~;~ \vec{\text{OB}},~\vec{\text{OC}},~\vec{\text{OS}}\right)$.
- On définit le point K par la relation $\vec{\text{SK}} = \dfrac{1}{3} \vec{\text{SD}}$ et on note I le milieu du segment [SO].
- Déterminer les coordonnées du point K.
- En déduire que les points B, I et K sont alignés.
- On note L le point d'intersection de l'arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.
- Déterminer les coordonnées du point L.
- On considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ dans le repère $\left(\text{O}~;~ \vec{\text{OB}},~\vec{\text{OC}},~\vec{\text{OS}}\right)$.
- Montrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (BCI).
- Montrer que les vecteurs $\vec{n},\: \vec{\text{AS}}$ et $\vec{\text{DS}}$ sont coplanaires.
- Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?
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