Baccalauréat S Amérique du Nord 1er juin 2016 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l'urne U à la fin du $n$-ième tirage.

1. 1. Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)$ puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes : \[P_{(X_n=0)} \left(X_{n+1} = 1\right) , P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)\:\: \text{et}\:\: P_{(X_n=2)} \left(X_{n+1} = 1\right).\]
   2. Exprimer $P\left(X_{n+1} = 1\right)$ en fonction de $P\left(X_n = 0\right),\: P\left(X_n = 1\right)$ et $P\left(X_n = 2\right)$.
2. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ la matrice ligne définie par : \[R_n = \begin{pmatrix}P\left(X_n = 0\right)& P\left(X_n = 1\right)& P\left(X_n = 2\right)\end{pmatrix}\] et on considère $M$ la matrice $\begin{pmatrix}0&1&0\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\0&1&0\end{pmatrix}$. On note $R_0$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$. On admettra par la suite que, pour tout entier naturel $n,\: R_{n+1} = R_n \times M$. Déterminer $R_1$ et justifier que, pour tout entier naturel $n,\: R_n = R_0 \times M^n$.
3. On admet que $M = P \times D \times P^{- 1}$ avec : \[P = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}2&3&1\\- 1&0&1\\2&- 3&1\end{pmatrix}, \: \: D = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\:\:\text{et}\:\: P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-2&1\\1&0&- 1\\1&4&1\end{pmatrix}.\] Établir que, pour tout entier naturel $n,\: M^n = P \times D^n \times P^{-1}$.
   On admettra que, pour tout entier naturel $n,\: D^n = \begin{pmatrix} \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
4. 1. Calculer $D^n \times P^{-1}$ en fonction de $n$.
   2. Sachant que $R_0P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&- \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$, déterminer les coefficients de $R_n$ en fonction de $n$.
5. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 0\right),\: \displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 1\right)$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 2\right)$. Interpréter ces résultats.