BAC S 2016 de Mathématiques : Métropole 20 juin 2016 - Correction Exercice 1

Page 2 sur 10: Correction Exercice 1

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

 

 

Partie A


Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées. La chaîne A produit 40% des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20% des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :

  • $A$ l'évènement « le composant provient de la chaîne A »
  • $B$ l'évènement « le composant provient de la chaîne B »
  • $S$ l'évènement « le composant est sans défaut »
    1. Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S) = 0,89$.
    2. On s'aide de l'arbre pondéré ci-dessous :
      Arbre
      D’après la formule des probabilités totales, on a :
      $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap A)+P(S\cap B) \\
      &= 0,4 \times 0,8+0,6\times 0,95 \\
      &=0,89
      \end{align*}$
      $\quad$
    3. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.
    4. On veut calculer $P_S(A)=\dfrac{P(S\cap A)}{P(S)}=\dfrac{0,4\times 0,8}{0,89}\approx 0,36$
      $\quad$

    Partie B

    Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion $p$ de composants sans défaut.
    Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de $400$~composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de $0,92$.
    1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de 95%.
    2. $n=400 \geqslant 30$, $f=0,92$ donc $nf=368 \geqslant 5$ et $n(1-f)=32 \geqslant 5$
      Un intervalle de confiance est alors :
      $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,92-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,92+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
      &=[0,87;0,97]
      \end{align*}$
    3. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de $0,02$ ?
    4. Un intervalle de confiance est de la forme $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
      Donc son amplitude est :
      $\begin{align*} a&=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\left(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \\
      &=\dfrac{2}{\sqrt{n}}
      \end{align*}$
      On veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0,02 \iff \dfrac{2}{\sqrt{0,02}} \leqslant\sqrt{n} \iff n \geqslant 10~000$
      On doit donc avoir un échantillon d’au moins $10~000$ individus.
      $\quad$

    Partie C

    La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif). On note $f$ la fonction densité associée à la variable aléatoire $T$. On rappelle que :
    • pour tout nombre réel $x \geqslant 0,\: f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}$.
    • pour tout nombre réel $a \geqslant 0,\: p(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x$.

    1. La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.
      1. Interpréter graphiquement $P(T \leqslant a)$ où $a > 0$.
      2. $P(T\leqslant a) = \displaystyle \int_0^a f(x) \mathrm{d}x$ correspond donc à l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=a$ quand $a>0$
        $\quad$
      3. Montrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0 \::\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$.
      4. Pour tout $t \geqslant 0$,
        $ \begin{align*} P(T\leqslant t) &= \displaystyle \int_0^t f(x) \mathrm{d}x \\
        &=\big[-\text{e}^{\lambda x}\big]_0^t \\
        &=-\text{e}^{-\lambda t}-(-1) \\
        &=1-\text{e}^{-\lambda t}
        \end{align*}$
      5. En déduire que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} P(T \leqslant t) = 1$.
      6. $\lim\limits_ {t \to +\infty} -\lambda t = -\infty$ donc, par composition, $\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-\lambda t}=0$
        Ainsi $\lim\limits_{t \to +\infty} P(T \leqslant t) = 1$.
    2. On suppose que $P(T \leqslant 7) = 0,5$. Déterminer $\lambda$ à $10^{-3}$ près.
    3. On veut résoudre :
      $\begin{align*} P(T \leqslant 7)=0,5 &\iff 1-\text{e}^{-7\lambda }=0,5 \\
      &\iff -\text{e}^{-7\lambda } = -0,5 \\
      &\iff \text{e}^{-7\lambda}=0,5 \\
      &\iff -7 \lambda = \ln 0,5 \\
      &\iff \lambda = \dfrac{\ln 0,5}{-7}
      \end{align*}$
      Donc $\lambda \approx 0,099$
      $\quad$
    4. Dans cette question on prend $\lambda = 0,099$ et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
      1. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
      2. On veut calculer $P(T \geqslant 5) = 1 -P(X <5) = \text{e}^{-0,099 \times 5} \approx 0,61$
        $\quad$
      3. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans. Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
      4. $\begin{align*} P_{T\geqslant 2}(T \geqslant 7) &=P_{T\geqslant 2}(T \geqslant 5+2) \\
        &=P(T \geqslant 5) \\
        &\approx 0,61
        \end{align*}$
        Car il s’agit d’une variable aléatoire à durée de vie sans vieillissement.
        $\quad$
      5. Donner l'espérance mathématique E($T$) de la variable aléatoire $T$ à l'unité près. Interpréter ce résultat.
      6. $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} =\dfrac{1}{0,099} \approx 10$.
        Cela signifie que la durée de vie moyenne d’un tel composant électronique est de $10$ ans.

    Exercice 2
    Page
  • Vues: 19365

Rechercher