BAC S 2016 de Mathématiques : Métropole 20 juin 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls $(a,\:b)$, on note pgcd$(a,\:b)$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$. Le plan est muni d'un repère $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$.

1. Exemple. Soit $\Delta_1$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.
   1. Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$.
   Si $(x,y)$ est un couple d’entier relatifs alors :
   $15x-12y=3\times (5x-4y)$ est un multiple de $3$ et est donc divisible par $3$.
   $\quad$
   
   2. Existe-il au moins un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
   Soit $(x,y)$ les coordonnées d’un point de la droite $\Delta_1$.
   Alors :
   $\begin{align*} y=\dfrac{5}{4}x-\dfrac{2}{3} &\iff 12y=15x-8 \\
   &\iff 15x-12y=8
   \end{align*}$
   Or $8$ n’est pas divisible par $3$.
   Aucun des points de la droite $\Delta_1$ n’a ses deux coordonnées entières.
   $\quad$
   Généralisation
   On considère désormais une droite $\Delta$ d'équation $(E) \::\: y = \dfrac{m}{n} x - \dfrac{p}{q}$ où $m, n, p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(m,\: n) = \text{pgcd}(p,\: q) = 1$. Ainsi, les coefficients de l'équation $(E)$ sont des fractions irréductibles et on dit que $\Delta$ est une droite rationnelle. Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $m, n, p$ et $q$ pour qu'une droite rationnelle $\Delta$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
2. On suppose ici que la droite $\Delta$ comporte un point de coordonnées $\left(x_0,\:y_0\right)$ où $x_0$ et $y_0$ sont des entiers relatifs.
   1. En remarquant que le nombre $n y_0 - m x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$.
   Le couple $\left(x_0,y_0\right)$ vérifie $y_0=\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}$
   Donc $ny_0=mx_0-\dfrac{pn}{q}$
   Soit $ny_0-mx_0=-\dfrac{pn}{q}$
   Puisque $n, y_0, m$ et $x_0$ dont des entiers naturels alors $ny_0-mx_0$ aussi et par conséquent $\dfrac{np}{q}$ l’est également.
   Cela signifie que $q$ divise $np$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que $q$ divise $n$.
   $p$ et $q$ sont premiers entre eux et $q$ divise $np$ par conséquent, d’après le théorème de Gauss, $q$ divise $n$.
3. Réciproquement, on suppose que $q$ divise $n$, et on souhaite trouver un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n}x_0 - \dfrac{p}{q}$.
   1. On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $qru - mv = 1$.
   $n$ et $m$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, il existe donc deux entiers relatifs $a$ et $b$ tels que :
   $an+bm=1$
   Puisque $n=qr$ on obtient $aqr+bm=1$
   Il suffit donc de prendre $u=a$ et $v=-b$ pour obtenir $qru-mv=1$.
   $\quad$
   
   2. En déduire qu'il existe un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$.
   On veut trouver un couple d’entiers relatifs $\left(x_0,y_0\right)$ tels que :
   $\begin{align*} y_0=\dfrac{mx_0}{n}-\dfrac{p}{q} &\iff ny_0=mx_0-\dfrac{np}{q} \\
   &\iff ny_0-mx_0=-pr \end{align*}$
   Or il existe un couple d’entiers relatifs $(u,v)$ tel que :
   $\begin{align*} qru-mv=1 &\iff -pr(qru-mv)=-pr \\
   &\iff -prnu+prmv=-pr
   \end{align*}$
   Prenons alors $y_0=-pru$ et $x_0=-prv$
   $\quad$
4. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{7}{4}$. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
Si $y=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{7}{4}$
Alors $m=3$, $n=8$, $p=7$ et $q=4$.
pgcd$(3,8)=1$ et pgcd$(7,4)=1$
$4$ divise $8$ donc cette droite possède bien un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
$\quad$
5. On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables :}& M, N, P, Q :\text{ entiers relatifs-nom nuls, tels que pgcd} (M,\: N) \text{ = pgcd}(P,\:Q) = 1 \\ & X : \text{entier naturel}\\ \text{Entrées :} &\text{ Saisir les valeurs de } M, N, P, Q \\ \text{Traitement et sorties :}&\\ &\text{Si }Q \text{ divise } N \text{ alors}\\ &\begin{array}{|l} X \text{ prend la valeur } 0 \\ \text{ Tant que } \left(\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}\right) \text{n'est pas entier} \\ \text{et } \left(-\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}\right) \text{n'est pas entier} \text{ faire}\\ \hspace{0,5cm}\begin{array}{|l} X \text{ prend la valeur } X + 1 \end{array}\\ \text{ Fin tant que} \\ \text{Si } \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \text{ est entier alors }\\ \hspace{0,5cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher } X, \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \end{array}\\ \text{ Sinon}\\ \hspace{0,5cm}\begin{array}{|l} \text{ Afficher } -X, - \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \end{array}\\ \text{ Fin Si }\\ \end{array}\\ &\text{ Sinon }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Afficher « Pas de solution » } \end{array}\\ &\text{Fin Si }\\\hline \end{array} $$
   1. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$, entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\: Q) = 1$.
   Si $Q$ ne divise pas $N$ alors on ne rentre pas dans la boucle Tant que et l’algorithme s’arrête.
   Si $Q$ divise $N$ alors d’après la question 3.b. il existe pour tous les entiers relatifs $m,n,p,q$ tels que
   pgcd$(m,n)=$pgcd$(p,q)=1$ et $q$ divise $n$ un couple d’entiers relatifs $\left(x_0;y_0\right)$ tels que $y_0=\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}$.
   On va donc trouver un entier relatif $x_0$ tel que $\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}$ est entier.
   Cet entier est soit positif, soit négatif.
   La boucle Tant que s’arrête si l’une des deux conditions n’est pas vérifiée ce qui, d’après ce qui vient d’être dit, arrivera au moins une fois.
   $\quad$
   
   2. Que permet-il d'obtenir ?
   Cet algorithme permet de trouver un point de $\Delta$ dont les coordonnées sont entières.
   $\quad$