Baccalauréat S Asie 23 juin 2016
Exercice 1 5 points
Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises. Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A: production de fraises
Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45% dans la serre B. Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88 ; dans la serre B, elle est égale à 0,84.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
- Proposition 1:
La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862. - Proposition 2:
On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit. La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.
Partie B: conditionnement des fraises
Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=250$ et d'écart-type $\sigma$. La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après: 
- On donne $P(X \leqslant237)=0,14$. Calculer la probabilité de l'évènement « la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes ».
- On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.
- Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?
- Démontrer que $P\left ( Y \leqslant- \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14$.
- En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier.
- Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut 12. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.
- Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle $\texttt{[} 250-n~;~250+n \texttt{]}$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.
- On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle $\texttt{[} 230~;~m\texttt{]}$. Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%.
Correction de l'exercice 1 (5 points)
Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises. Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A: production de fraises
Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45% dans la serre B. Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88 ; dans la serre B, elle est égale à 0,84.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
- Proposition 1:
La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862. - Proposition 2:
On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit. La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.
On appelle :
• $A$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre A”;
• $B$ l’événement “la fleur de fraisier vient de la serre B”;
• $F$ l’événement “la fleur donne un fruit”;
Proposition 1 : vraie
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B \cap F) \\
&=0,55\times 0,88 + 0,45 \times 0,84 \\
&=0,862
\end{align*}$
$\quad$
Proposition 2 : fausse
On veut calculer :
$\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(A \cap F)}{p(F)} \\
&=\dfrac{0,55 \times 0,88}{0,862} \\
& \approx 0,561
\end{align*}$
$\quad$
Partie B: conditionnement des fraises
Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=250$ et d'écart-type $\sigma$. La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:
- On donne $P(X \leqslant237)=0,14$. Calculer la probabilité de l'évènement « la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes ». $250-237 = 13$ et $250+13=263$. Donc $P(X \geqslant 263)=P(X \leqslant 237)=0,14$.
- On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.
- Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$? La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
- Démontrer que $P\left ( Y \leqslant- \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14$. $\begin{align*} P(X \leqslant 237) = 0,14 &\iff P\left(\dfrac{X-250}{\sigma} \leqslant \dfrac{237-250}{\sigma}\right) = 0,14 \\
- En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier. Donc, en utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que :
$\quad$
&\iff \iff P\left(Y{\sigma} \leqslant -\dfrac{13}{\sigma}\right) = 0,14
\end{align*}$
$-\dfrac{13}{\sigma} \approx -1,08$
Par conséquent $\sigma \approx \dfrac{-1,08}{-13}$ soit $\sigma \approx 12$.
$\quad$ - Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut 12. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.
- Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle $\texttt{[} 250-n~;~250+n \texttt{]}$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que :
- On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle $\texttt{[} 230~;~m\texttt{]}$. Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95%. On veut trouver la plus petite valeur de $m$ telle que :
$ \begin{align*} P(250-n \leqslant X \leqslant 250+n) \geqslant 0,95 &\iff P\left(\dfrac{-n}{12} \leqslant \dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,95 \\
&\iff 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right)-1\geqslant 0,95 \\
&\iff 2P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 1,95 \\
&\iff P\left(\dfrac{X-250}{12} \leqslant \dfrac{n}{12}\right) \geqslant 0,975
\end{align*}$
Puisque la variable aléatoire $\dfrac{X-250}{12}$ suit la loi normale centrée réduite on trouve donc, à l’aide de la calculatrice, $\dfrac{n}{12} \geqslant 1,960$ soit $n \geqslant 23,52$ et donc $n \geqslant 24$.
Remarque : On pouvait remarquer qu’on nous demandait de trouver $u_{\alpha}$ tel que $P\left(-u_{\alpha} \leqslant X \leqslant u_{\alpha}\right) = 1-0,05$ et d’après le cours $u_{\alpha}\approx 1,96$.
$\quad$
$\begin{align*} P(230 \leqslant X \leqslant m) \geqslant 0,95 &\iff 1-P(X \leqslant 230)-P(X \geqslant m) \geqslant 0,95\\
&\iff P(X \leqslant m)-P(X \leqslant 230) \geqslant 0,95 \\
&\iff P(X \leqslant m)-\left(0,5-P(230 \leqslant X \leqslant 250)\right)\geqslant 0,95 \\
&\iff P(X \leqslant m)-0,047~8\geqslant 0,95 \\
&\iff P(X \leqslant m) \geqslant 0,9978 \\
&\iff m\geqslant 284,18
\end{align*}$
La plus petite valeur de $m$ cherchée est donc environ $285$
$\begin{align*} P(237 \leqslant X \leqslant 263)&=1-\left(P(X \leqslant 237)+P(X \geqslant 263)\right) \\
&= 1-0,28 \\
&=0,72
\end{align*}$
$\quad$
Exercice 2 3 points
Soit $a$ un nombre réel compris entre 0 et 1. On note $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[f_a(x)=a \text{e}^{ax} + a.\] On note $I(a)$ l'intégrale de la fonction $f_a$ entre 0 et 1: \[I(a)=\displaystyle\int_0^1 f(x) \,\text{d} x.\]
- On pose dans cette question $a=0$. Déterminer $I(0)$.
- On pose dans cette question $a=1$. On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb R$ par: \[f_1(x)=\text{e}^{x} +1.\]
- Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$.
- Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième.
- Existe-il une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à 2? Si oui, en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
Correction de l'exercice 2 (3 points)
Soit $a$ un nombre réel compris entre 0 et 1. On note $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[f_a(x)=a \text{e}^{ax} + a.\] On note $I(a)$ l'intégrale de la fonction $f_a$ entre 0 et 1: \[I(a)=\displaystyle\int_0^1 f(x) \,\text{d} x.\]
- On pose dans cette question $a=0$. Déterminer $I(0)$. Si $a=0$ alors $f_0(x)=0$
- On pose dans cette question $a=1$. On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\mathbb R$ par: \[f_1(x)=\text{e}^{x} +1.\]
- Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$. $a=1$ et $f_1(x)=\text{e}^x+1$
- Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième. $\begin{align*} I(1) &= \displaystyle \int_0^1 \left(\text{e}^x+1\right)\mathrm{d}x \\
On obtient ainsi la représentation suivante où $I(1)$ correspond à l’aire de la partie coloriée.
&=\big[\text{e}^x+x\big]_0^1 \\
&=\text{e}^1+1-1 \\
&=\text{e} \\
&\approx 2,7
\end{align*}$
$\quad$ - Existe-il une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à 2? Si oui, en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$. Une primitive de $f_a$ sur $[0;1]$ est la fonction $F_a$ définie par $F_a(x)=\text{e}^{ax}+ax$ pour tout $x\in[0;1]$.
Par conséquent $I(0)=\displaystyle \int_0^1 f_(0)\mathrm{d}x=0$.
$\quad$
Par conséquent $I(a)=F_a(1)-F_a(0)=\text{e}^a+a-1$.
On appelle $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $g(x)=\text{e}^x+x-1$
$g$ est continue sur $[0;1]$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle et est strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissantes (la fonction exponentielle et une fonction affine).
$g(0)=1-1=0<2$
$g(1)=\text{e}>2$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), il existe donc une unique solution à l’équation $g(x)=2$.
A l’aide de la calculatrice, on trouve $0,792 < \alpha < 0,80$.
Exercice 3 7 points
Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20% en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100g de bactéries sont perdus. L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30kg de bactéries.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A: premier modèle -- avec une suite
On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante:
$u_0= 1000 $ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.
-
- Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé. On précisera en particulier ce que représente $u_n$.
- L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30kg. A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
- On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme. $$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables} & u \text{ et } n \text{ sont des nombres }\\ \hline & \\ & u \text{ prend la valeur } 1000 \\ & n \text{ prend la valeur } 0\\ \text{Traitement } \hspace{0.5cm} & \text{Tant que ................ faire }\\ & \hspace{1cm} u \text{ prend la valeur .......... }\hspace{1cm}\\ & \hspace{1cm} n \text{ prend la valeur } n+1 \\ & \text{Fin Tant que }\\ & \\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher ..........}\\ \hline \end{array} $$
-
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1000 $.
- Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
- On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
- Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
- Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Partie B: second modèle -- avec une fonction
On constate qu'en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\texttt{[} 0;+\infty\texttt{[}$ par: \[ f(t)= \dfrac{50}{1+49 \text{e}^{-0,2 t}}\] où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.
-
- Calculer $f(0)$.
- Démontrer que, pour tout réel $t\geqslant0$, $f(t) < 50$.
- Etudier le sens de variation de la fonction $f$.
- Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
- Interpréter les résultats de la question 1 par rapport au contexte.
- En utilisant ce modèle, on cherche à savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30kg. Résoudre l'inéquation d'inconnue $t$: $f(t) > 30$. En déduire la réponse au problème.
Partie C: un contrôle de qualité
Les bactéries peuvent être de deux types: le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l'industrie, et le type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d'un point de vue commercial.
L'entreprise affirme que 80% des bactéries produites sont de type A.
Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de 200 bactéries en fin de production. L'analyse montre que 146 d'entre elles sont de type A. L'affirmation de l'entreprise doit-elle être remise en cause ?
Correction de l'exercice 3 (5 points)
Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20% en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100g de bactéries sont perdus. L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30kg de bactéries.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A: premier modèle -- avec une suite
On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante:
$u_0= 1000 $ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.
-
- Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé. On précisera en particulier ce que représente $u_n$. $1$ kg $=1~000$ g, ce qui nous donne $u_0$.
- L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30kg. A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème. On veut déterminer le premier rang à partir duquel $u_n > 30~000$.
- On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme. $$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{Variables} & u \text{ et } n \text{ sont des nombres }\\ \hline & \\ & u \text{ prend la valeur } 1000 \\ & n \text{ prend la valeur } 0\\ \text{Traitement } \hspace{0.5cm} & \text{Tant que ................ faire }\\ & \hspace{1cm} u \text{ prend la valeur .......... }\hspace{1cm}\\ & \hspace{1cm} n \text{ prend la valeur } n+1 \\ & \text{Fin Tant que }\\ & \\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher ..........}\\ \hline \end{array} $$ Variables :
Chaque jour la masse des bactéries augmente de $20\%$. Elle est donc multipliée chaque jour par $1,2$ d’où le terme $1,2u_n$.
$100$ g de bactéries sont perdues chaque jour.
Donc la masse, en grammes, des bactéries est représentée par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases}u_0=1~000\\u_{n+1}=1,2u_n-100\end{cases}$.
$\quad$
La calculatrice nous indique que $u_{22} \approx 28~103$ et $u_{23}\approx 33~623$ (on n’a cependant pas prouvé que la suite était croissante; ce qui serait à faire pour une étude rigoureuse).
Au bout de $23$ jours la masse de bactérie dépasse $30$ kg.
$\quad$
$\quad$ $u$ et $n$ sont des nombres
Traitement :
$\quad$ $u$ prend la valeur $1~000$
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ Tant que $u\leqslant 30$ faire
$\qquad$ $u$ prend la valeur $1,2u-100$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$ -
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1000 $. Initialisation : si $n=0$, $u=1~000 \geqslant 1~000$.
- Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~000$
$\begin{align*} u_{n+1} &=1,2u_n-100 \\
&\geqslant 1,2 \times 1~000-100 \\
&\geqslant 1~100 \\
&\geqslant 1~000
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant 1~000$.
$\quad$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n &=1,2u_n-100-u_n \\
&=0,2u_n-100 \\
&\geqslant 0,2 \times 1~000-100 \\
&\geqslant 100 \\
& \geqslant 0
\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$ - On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
- Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
- Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$. On a donc, pour tout entier naturel $n$ :
- Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. $1,2>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,2^n=+\infty$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-500 \\
&=1,2u_n-100-500 \\
&=1,2u_n-600 \\
&=1,2\left(u_n-\dfrac{600}{1,2}\right) \\
&=1,2\left(u_n-500\right) \\
&=1,2v_n
\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,2$ et de premier terme $v_0=u_0-500=500$.
$\quad$
$v_n=500\times 1,2^n$
et $u_n=v_n-500=500\times 1,2^n-500$
$\quad$
Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
Partie B: second modèle -- avec une fonction
On constate qu'en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\texttt{[} 0;+\infty\texttt{[}$ par: \[ f(t)= \dfrac{50}{1+49 \text{e}^{-0,2 t}}\] où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.
-
- Calculer $f(0)$. $f(0)=\dfrac{50}{1+49}=1$.
- Démontrer que, pour tout réel $t\geqslant0$, $f(t) < 50$. Pour tout réel $t\geqslant 0$ on a :
- Etudier le sens de variation de la fonction $f$. Sur $[0;+\infty[$, la fonction $t \to -0,2t$ est strictement décroissante.
$\quad$
$\begin{align*} f(t)-50 = \dfrac{50}{1+49\text{e}^{-0,2t}}-50 \\
&=50\left(\dfrac{1}{1+49\text{e}^{-0,2t}}-1\right) \\
&=50\times\dfrac{1-1-49\text{e}^{-0,2t}}{1+49\text{e}^{-0,2t}} \\
&=\dfrac{-50\times 49\text{e}^{-0,2t}}{1+49\text{e}^{-0,2t}}
\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$ donc $f(t)-50 < 0$ sur $[0;+\infty[$ soit $f(t) <50$ pour tout $t \geqslant 0$.
$\quad$
Puisque la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ la fonction $t \to 1+49\text{e}^{-0,2t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Remarque : On pouvait évidemment étudier le signe de la dérivée mais c’était pour changer
Correction de l'exercice 4 5 points
Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de « coin de cube», les faces réfléchissantes tournées vers l'intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie. Les points O, A, B et C sont des sommets d'un cube, de telle sorte que le repère $\left (\text{O}\,;\,\vec{\text{OA}},\,\vec{\text{OB}},\,\vec{\text{OC}} \right )$ soit un repère orthonormé. On utilisera ce repère dans tout l'exercice. Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.
Règles de réflexion d'un rayon lumineux (admises):
- lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(a~;~b~;~- c)$;
- lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(-a~;~b~;~c)$ ;
- lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(a~;~- b~;~c)$ ;
| Vue en perspective cavalière de la réflexion d’un rayon lumineux sur le plan $(OAB)$ |
|
- Propriété des catadioptres
En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial. - Réflexion de $d_2$ sur le plan (OBC)
- Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$.
- Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan.
- Soit I$_2$ le point de coordonnées $(0~;~2~;~1)$.
Vérifier que le plan (OBC) et la droite $d_2$ sont sécants en I$_2$.
- Rélexion de $d_3$ sur le plan (OAC)
Calculer les coordonnées du point d'intersection I$_3$ de la droite $d_3$ avec le plan (OAC). On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC). Elle est donc parallèle à la droite $d_1$. - Etude du trajet de la lumière
On donne le vecteur $\vec{u}\,(1~;~-2~;~0)$, et on note $\mathcal P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$.- Démontrer que le vecteur $\vec u$ est un vecteur normal au plan $\mathcal P$.
- Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan?
- Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan?
Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vec{v_1}\,(-2~;~-1~;~-1)$ qui vient frapper le plan (OAB) au point I$_1\,(2~;~3~;~0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v_2}\,(-2~;~-1~;~1)$ et passant par le point I$_1$.
Correction de l'exercice 4 5 points
Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de « coin de cube», les faces réfléchissantes tournées vers l'intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie. Les points O, A, B et C sont des sommets d'un cube, de telle sorte que le repère $\left (\text{O}\,;\,\vec{\text{OA}},\,\vec{\text{OB}},\,\vec{\text{OC}} \right )$ soit un repère orthonormé. On utilisera ce repère dans tout l'exercice. Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.
Règles de réflexion d'un rayon lumineux (admises):
- lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(a~;~b~;~- c)$;
- lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(-a~;~b~;~c)$ ;
- lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vec{v}\,(a~;~- b~;~c)$ ;
| Vue en perspective cavalière de la réflexion d’un rayon lumineux sur le plan $(OAB)$ |
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|
- Propriété des catadioptres
En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vec{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial. On considère un vecteur directeur $\vec{v}(a;b;c)$ d’un rayon. - Réflexion de $d_2$ sur le plan (OBC)
- Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$. Une représentation paramétrique de la droite $d_2$ est :
- Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan. Un vecteur normal au plan $(OBC)$ est $\vec{OA}(1;0;0)$.
- Soit I$_2$ le point de coordonnées $(0~;~2~;~1)$.
Vérifier que le plan (OBC) et la droite $d_2$ sont sécants en I$_2$. Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $d_2$ on obtient $\begin{cases} x=0\\y=2\\z=1\end{cases}$. Donc le point $I_2$ appartient bien à $d_2$.
$\begin{cases} x=2-2t\\y=3-t \quad t\in \mathbb R \\z=t \end{cases}$
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
Puisque $O$ appartient à ce plan on a $d=0$ et par conséquent une équation cartésienne du plan $(OBC)$ est $x=0$.
$\quad$
L’abscisse de $I_2$ vaut $0$. $I_2$ appartient donc également au plan $(OBC)$.
$\vec{OA}$ et $\vec{v_2}$ ne sont clairement pas colinéaires : la droite et le plan ne sont pas parallèles.
Par conséquent la droite $d_2$ et le plan $(OBC)$ sont sécants en $I_2$.
$\quad$ - Rélexion de $d_3$ sur le plan (OAC)
Calculer les coordonnées du point d'intersection I$_3$ de la droite $d_3$ avec le plan (OAC). On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC). Elle est donc parallèle à la droite $d_1$. Une équation cartésienne du plan $(OAC)$ est $y=0$. - Etude du trajet de la lumière
On donne le vecteur $\vec{u}\,(1~;~-2~;~0)$, et on note $\mathcal P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$.- Démontrer que le vecteur $\vec u$ est un vecteur normal au plan $\mathcal P$. $\vec{u}.\vec{v_1}=1\times (-2)+(-1)\times (-2)+0=0$
- Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan? Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $x-2y+d=0$.
- Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan? Le vecteur $\vec{v_1}$ est un vecteur directeur de la droite $d_4$. Le point $I_3$ appartient à cette droite.
$\vec{u}.\vec{v_2}=1\times (-2)+(-2)\times (-1)+0=0$
Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
C’est par conséquent un vecteur normal à ce plan.
$\quad$
Le point $I_1(2;3,0)$ appartient à $\mathscr{P}$ car il appartient à $d_1$.
Donc $2-6+d=0$ soit $d=4$.
Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est par conséquent $x-2y+4=0$.
$\quad$
Le point $I_3(4;0;3)$ appartient à $d_3$
Mais $4-2\times 0+4\neq 0$. Le point $I_3$ n’appartient pas à $\mathscr{P}$.
Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ne sont pas situées dans un même plan.
$\quad$
Le point $I_3$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$ défini par les droites $d_1$ et $d_2$.
Par conséquent les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ ne sont pas situées dans un même plan.
Un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAB)$ est $\vec{v_1}(a;b-c)$.
Un vecteur directeur du rayon réfléchi ensuite par le plan $(OBC)$ est $\vec{v_2}(-a;b;-c)$.
Enfin un vecteur directeur du rayon réfléchi par le plan $(OAC)$ est $\vec{v_3}(-a;-b-;-c)$.
$\vec{v_3}=-\vec{v}$
Le rayon final est donc parallèle au rayon initial.
$\quad$
Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vec{v_1}\,(-2~;~-1~;~-1)$ qui vient frapper le plan (OAB) au point I$_1\,(2~;~3~;~0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vec{v_2}\,(-2~;~-1~;~1)$ et passant par le point I$_1$.
Une représentation paramétrique de la droite $d_3$ est $\begin{cases} x=2t\\y=2-t \quad t \in \mathbb R \\z=1+t \end{cases}$
Le point d’intersection de ce plan et de cette droite est $I_3$.
Ses coordonnées vérifient à la fois les équations de la droite et celle du plan.
Donc $2-t=0$ soit $t=2$.
Par conséquent $\begin{cases} x=4\\y=0\\z=3 \end{cases}$
Finalement $I_3(4;0;3)$.
$\quad$
Spécialité 5 points
Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Partie A : quelques résultats
- On considère l'équation $(E) : \: 9d - 26m = 1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs.
- Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$.
- Démontrer que le couple $(d,\: m)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si : \[9 (d - 3) = 26 ( m - 1).\]
- En déduire que les solutions de l'équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : \[\left\{\begin{array}{l c l} d &=&26k+3\\ m&=&9k+1 \end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in \mathbb Z.\]
-
- Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26 k - 1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux.
- En déduire que les nombres $9d - 28$, avec $d = 26k + 3$ et $k \in \mathbb Z$, sont premiers avec $26$.
Partie B : cryptage et décryptage
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$. On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P& Q& R& S& T& U& V& W& X&Y& Z\\ \hline 13&14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24 & 25\\ \hline \end{array} $$
| Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres) | Exemple : avec le mot MATH |
| 1 . On regroupe les lettres par paires. | $\text{MA }\quad \text{TH}$ |
| 2.On remplace les lettres par les valeurs associées à l'aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne. | $C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}$ $C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}$ |
| 3.On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$ | $AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}$ $AC_2 = \begin{pmatrix} 199\\ 154\end{pmatrix}$ |
| 4.On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26. | $108 = 4\times 26 + 4$ $84= 3 \times 26 + 6$ On obtient : $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}$ |
| 5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté. | EGRY |
- En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ».
-
Méthode de décryptage
Notation :
lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation » $\equiv$ « pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : \[\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } 26 \text{ car }\:108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.\] Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x’$ et $y’$ des nombres entiers relatifs. On sait que si $x \equiv x’$ modulo $26$ et $y \equiv y’$ modulo $26$ alors : $ax + by \equiv ax' + by’$ modulo $26$. Ce résultat permet d'écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: \[B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26. \]- Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse.
- Décrypter le mot : XQGY.
Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Partie A : quelques résultats
- On considère l'équation $(E) : \: 9d - 26m = 1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs.
- Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$. $9\times 3-26\times 1 = 27-26=1$.
- Démontrer que le couple $(d,\: m)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si : \[9 (d - 3) = 26 ( m - 1).\] Soit $(d;m)$ un couple solution de $(E)$.
- En déduire que les solutions de l'équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : \[\left\{\begin{array}{l c l} d &=&26k+3\\ m&=&9k+1 \end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in \mathbb Z.\] $26$ et $9$ sont premiers entre eux.
Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
$\quad$
On a donc :
$9d-26m=1$ et $9\times 3-26\times 1=1$
Par différence on obtient :
$9(d-3)-26(m-1)=0$ soit $9(d-3)=26(m-1)$.
$\quad$
D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que :
$d-3=26k$ et $m-1=9k$
Soit $d=3+26k$ et $m=1+9k$
$\quad$
Réciproquement, soit $k$ un entier relatif.
$9(3+26k)-26(1+9k)=27-9\times 26k-26+26\times 9k = 1$.
$\quad$
Les solutions de l’équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme :
$\begin{cases} d=26k+3\\m=9k+1\end{cases}$, avec $k\in \mathbb Z$.
$\quad$ -
- Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26 k - 1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux. Soit $n$ un nombre entier. Si $n=26k-1$ alors $26k-n\times 1 = 1$.
- En déduire que les nombres $9d - 28$, avec $d = 26k + 3$ et $k \in \mathbb Z$, sont premiers avec $26$. Soit $k$ un entier relatif.
D’après le théorème de Bezout, $n$ et $26$ sont donc premiers entre eux.
$\quad$
$\begin{align*}9d-28&= 9(26k+3)-28 \\
&=26 \times 9k + 27-28 \\
&=26 \times 9k-1 \\
&=26k’-1
\end{align*}$
Avec $k’=9k$.
D’après la question précédente, $9d-28$ et $26$ sont premiers entre eux.
$\quad$
Partie B : cryptage et décryptage
On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$. On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P& Q& R& S& T& U& V& W& X&Y& Z\\ \hline 13&14& 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24 & 25\\ \hline \end{array} $$
| Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres) | Exemple : avec le mot MATH |
| 1 . On regroupe les lettres par paires. | $\text{MA }\quad \text{TH}$ |
| 2.On remplace les lettres par les valeurs associées à l'aide du tableau précédent, et on place les couples de nombres obtenus dans des matrices colonne. | $C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}$ $C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}$ |
| 3.On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$ | $AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}$ $AC_2 = \begin{pmatrix} 199\\ 154\end{pmatrix}$ |
| 4.On remplace chaque coefficient des matrices colonne obtenues par leur reste dans la division euclidienne par 26. | $108 = 4\times 26 + 4$ $84= 3 \times 26 + 6$ On obtient : $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}$ |
| 5. On utilise le tableau de correspondance entre lettres et nombres pour obtenir le mot crypté. | EGRY |
- En cryptant par cette méthode le mot « PION », on obtient « LZWH ». En détaillant les étapes pour les lettres « ES », crypter le mot « ESPION ». ES est associé à la matrice colonne $C=\begin{pmatrix}4\\18\end{pmatrix}$.
-
Méthode de décryptage
Notation :
lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation » $\equiv$ « pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : \[\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } 26 \text{ car }\:108 \equiv 4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.\] Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x’$ et $y’$ des nombres entiers relatifs. On sait que si $x \equiv x’$ modulo $26$ et $y \equiv y’$ modulo $26$ alors : $ax + by \equiv ax' + by’$ modulo $26$. Ce résultat permet d'écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: \[B \equiv C \text{ modulo } 26 \text{ implique } AB \equiv AC \text{ modulo } 26. \]- Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse. Le déterminant de $A$ est $d=9\times 3-4\times 7 = -1\neq 0$. Donc $A$ est inversible.
- Décrypter le mot : XQGY. On considère deux matrices colonnes $X$ et $Y$.
On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$
Alors $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.
Ainsi l’inverse de $A$ est la matrice $A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&4\\7&-9\end{pmatrix}$.
$\quad$
Si $AX=Y$ alors $X=A^{-1}Y$.
XQ est associé à la matrice $C_1=\begin{pmatrix} 23\\16\end{pmatrix}$
Donc $A^{1}C_1=\begin{pmatrix}-5\\17\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 21\\17\end{pmatrix}$ qui est associée à VR.
GY est associé à la matrice $C_2=\begin{pmatrix} 6\\24\end{pmatrix}$
Donc $A^{1}C_2=\begin{pmatrix}78\\-174\end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} 0\\8\end{pmatrix}$ qui est associée à AI.
$\quad$
Le mot XQGY se décrypte en VRAI.
$\quad$
$AC=\begin{pmatrix}108\\82\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$.
Donc ESPION est codé par EELZWH.
$\quad$
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