Baccalauréat S Métropole- La Réunion 12 septembre 2016 - Exercice 2

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Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \geqslant 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence: \[z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}.\]

1. 1. Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$
   2. Dans cette question, on suppose que $z_0 = \text{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$.
   3. Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$ ? Prouver cette conjecture.
2. Déterminer $z_{ 2016 }$ dans le cas où $z_0 = 1 + \text{i}$.
3. Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?